已知等差数列 $\{a_n\}$ 的首项及公差均为正数，令 $b_n=\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{2012-n}}$（$n\in\mathbf{N}^*$，$n<2012$）. 当 $b_k$ 是数列 $\{b_n\}$ 的最大项时，$k=\underline{\hspace{2em}}$.

已知数列 $\{a_n\}$，$\{b_n\}$，$\{c_n\}$ 满足 $(a_{n+1}-a_n)(b_{n+1}-b_n)=c_n$（$n\in\mathbf{N}^*$）.

(1) 设 $c_n=3n+6$，$\{a_n\}$ 是公差为 $3$ 的等差数列. 当 $b_1=1$ 时，求 $b_2$，$b_3$ 的值； (2) 设 $c_n=n^3$，$a_n=n^2-8n$，求正整数 $k$，使得一切 $n\in\mathbf{N}^*$，均有 $b_n\ge b_k$； (3) 设 $c_n=2^n+n$，$a_n=\dfrac{1+(-1)^n}{2}$. 当 $b_1=1$ 时，求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式.