设 $a > 1$，函数 $f(x) = (1 + x^2)\mathrm{e}^x - a$.

(1) 求 $f(x)$ 的单调区间； (2) 证明：$f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上仅有一个零点； (3) 若曲线 $y = f(x)$ 在点 $P$ 处的切线与 $x$ 轴平行，且在点 $M(m, n)$ 处的切线与直线 $OP$ 平行（$O$ 是坐标原点），证明：$m \leqslant \sqrt[3]{a - \frac{2}{\mathrm{e}}} - 1$.