下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）

数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1 + 2a_2 + \cdots + na_n = 4 - \frac{n + 2}{2^{n - 1}}$，$n \in \mathbf{N}^*$.

(1) 求 $a_3$ 的值； (2) 求数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$； (3) 令 $b_1 = a_1$，$b_n = \frac{T_{n - 1}}{n} + \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n}\right) a_n$（$n \geqslant 2$），证明：数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 满足 $S_n < 2 + 2 \ln n$.