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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 PP，QQ 为两个非空实数集合，定义集合 P+Q={a+b∣a∈P,b∈Q}P + Q = \{a + b \mid a \in P, b \in Q\}，若 P={0,2,5}P = \{0, 2, 5\}，Q={1,2,6}Q = \{1, 2, 6\}，则 P+QP + Q 中元素的个数是（ ）
A.
99
B.
88
C.
77
D.
66

2005 · 湖北 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
对任意实数 aa，bb，cc 给出下列命题：
① “a=ba = b”是“ac=bcac = bc”充要条件； ② “a+5a + 5 是无理数”是“aa 是无理数”的充要条件； ③ “a>ba > b”是“a2>b2a^{2} > b^{2}”的充分条件； ④ “a<5a < 5”是“a<3a < 3”的必要条件.
其中真命题的个数是（ ）
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

2005 · 湖北 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03复数★☆☆☆☆
(1−i)(1+2i)1+i=\frac{\left(1 - \mathrm{i}\right)\left(1 + 2\mathrm{i}\right)}{1 + \mathrm{i}} =（ ）
A.
−2−i-2 - \mathrm{i}
B.
−2+i-2 + \mathrm{i}
C.
2−i2 - \mathrm{i}
D.
2+i2 + \mathrm{i}

2005 · 湖北 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
函数 y=e∣ln⁡x∣−∣x−1∣y = \mathrm{e}^{|\ln x|} - |x - 1| 的图象大致是（ ）
A.
B.
C.
D.

2005 · 湖北 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
双曲线 x2m−y2n=1\frac{x^2}{m} - \frac{y^2}{n} = 1（mn≠0mn \neq 0）离心率为 22，有一个焦点与抛物线 y2=4xy^2 = 4x 的焦点重合，则 mnmn 的值为（ ）
A.
316\frac{3}{16}
B.
38\frac{3}{8}
C.
163\frac{16}{3}
D.
83\frac{8}{3}

2005 · 湖北 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★★☆☆
在 y=2xy = 2^x，y=log⁡2xy = \log_{2} x，y=x2y = x^2，y=cos⁡2xy = \cos 2x 这四个函数中，当 0<x1<x2<10 < x_1 < x_2 < 1 时，使 f(x1+x22)>f(x1)+f(x2)2f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right) > \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2} 恒成立的函数的个数是（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 湖北 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
若 sin⁡α+cos⁡α=tan⁡α\sin \alpha + \cos \alpha = \tan \alpha（0<α<π20 < \alpha < \frac{\pi}{2}），则 α∈\alpha \in（ ）
A.
(0,π6)\left(0, \frac{\pi}{6}\right)
B.
(π6,π4)\left(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{4}\right)
C.
(π4,π3)\left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{3}\right)
D.
(π3,π2)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}\right)

2005 · 湖北 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★☆☆☆
若 lim⁡x→1(a1−x−b1−x2)=1\displaystyle\lim_{x\to 1}\left(\frac{a}{1 - x} - \frac{b}{1 - x^2}\right) = 1，则常数 aa，bb 的值为（ ）
A.
a=−2a = -2，b=4b = 4
B.
a=2a = 2，b=−4b = -4
C.
a=−2a = -2，b=−4b = -4
D.
a=2a = 2，b=4b = 4

2005 · 湖北 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★☆☆
若 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，则 2x2x 与 3sin⁡x3\sin x 的大小关系（ ）
A.
2x>3sin⁡x2x > 3\sin x
B.
2x<3sin⁡x2x < 3\sin x
C.
2x=3sin⁡x2x = 3\sin x
D.
与 xx 的取值有关

2005 · 湖北 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，在三棱柱 ABC−A′B′C′ABC - A'B'C' 中，点 EE，FF，HH，KK 分别为 AC′AC'，CB′CB'，A′BA'B，B′C′B'C' 的中点，GG 为 △ABC\triangle ABC 的重心. 从 KK，HH，GG，B′B' 中取一点作为 PP，使得该棱柱恰有 22 条棱与平面 PEFPEF 平行，则 PP 为（ ）
A.
KK
B.
HH
C.
GG
D.
B′B^{\prime}

2005 · 湖北 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★★★☆☆
某初级中学有学生 270 人270\text{ 人}，其中一年级 108 人108\text{ 人}，二、三年级各 81 人81\text{ 人}. 现要利用抽样方法抽取 10 人10\text{ 人} 参加某项调查，考虑选用简单随机抽样，分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为 11，22，…，270270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号为 11，22，…，270270，并将整个编号依次分为 1010 段. 如果抽得号码有下列四种情况：
① 77，3434，6161，8888，115115，142142，169169，196196，223223，250250； ② 55，99，100100，107107，111111，121121，180180，195195，200200，265265； ③ 1111，3838，6565，9292，119119，146146，173173，200200，227227，254254； ④ 3030，5757，8484，111111，138138，165165，192192，219219，246246，270270.
关于上述样本的下列结论中，正确的是（ ）
A.
\circled2\circled{2}，\circled3\circled{3}都不能为系统抽样
B.
\circled2\circled{2}，\circled4\circled{4}都不能为分层抽样
C.
\circled1\circled{1}，\circled4\circled{4}都可能为系统抽样
D.
\circled1\circled{1}，\circled3\circled{3}都可能为分层抽样

2005 · 湖北 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12计数原理与组合数学★★★★☆
以平行六面体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，则这两个三角形不共面的概率 pp 为（ ）
A.
367385\frac{367}{385}
B.
376385\frac{376}{385}
C.
192385\frac{192}{385}
D.
18385\frac{18}{385}

2005 · 湖北 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13平面向量★★☆☆☆
已知向量 a=(−2,2)\boldsymbol{a} = (-2, 2)，b=(5,k)\boldsymbol{b} = (5, k). 若 ∣a+b∣|\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}| 不超过 55，则 kk 的取值范围是______.

2005 · 湖北 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14计数原理与组合数学★★★★☆
(x2+1x+2)5\left(\frac{x}{2} + \frac{1}{x} + \sqrt{2}\right)^5 的展开式中整理后的常数项为______.

2005 · 湖北 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15数列★★☆☆☆
设等比数列 {an}\{a_{n}\} 的公比为 qq，前 nn 项和为 SnS_{n}，若 Sn+1S_{n+1}，SnS_{n}，Sn+2S_{n+2} 成等差数列，则 qq 的值为______.

2005 · 湖北 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★☆☆☆
某实验室需购某种化工原料 106 千克106\text{ 千克}，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35 千克35\text{ 千克}，价格为 140 元140\text{ 元}；另一种是每袋 24 千克24\text{ 千克}，价格为 120 元120\text{ 元}. 在满足需要的条件下，最少要花费______ 元\text{ 元}.

2005 · 湖北 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17导数及其应用★★★☆☆
已知向量 a=(x2,x+1)\boldsymbol{a} = (x^2, x + 1)，b=(1−x,t)\boldsymbol{b} = (1 - x, t). 若函数 f(x)=a⋅bf(x) = \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} 在区间 (−1,1)(-1, 1) 上是增函数，求 tt 的取值范围.

2005 · 湖北 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AB=463AB = \frac{4\sqrt{6}}{3}，cos⁡B=66\cos B = \frac{\sqrt{6}}{6}，ACAC 边上的中线 BD=5BD = \sqrt{5}，求 sin⁡A\sin A 的值.

2005 · 湖北 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有 44 次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直等到第 44 次为止. 如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为 0.60.6，0.70.7，0.80.8，0.90.9，求在一年内李明参加驾照考试次数 ξ\xi 的分布列和 ξ\xi 的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率.

2005 · 湖北 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为矩形，侧棱 PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AB=3AB = \sqrt{3}，BC=1BC = 1，PA=2PA = 2，EE 为 PDPD 的中点.
(1) 求直线 ACAC 与 PBPB 所成角的余弦值； (2) 在侧面 PABPAB 内找一点 NN，使 NE⊥NE \perp 面 PACPAC，并求出 NN 点到 ABAB 和 APAP 的距离.

2005 · 湖北 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
设 AA，BB 是椭圆 3x2+y2=λ3x^{2} + y^{2} = \lambda 上的两点，点 N(1,3)N(1,3) 是线段 ABAB 的中点，线段 ABAB 的垂直平分线与椭圆相交于 CC，DD 两点.
(1) 确定 λ\lambda 的取值范围，并求直线 ABAB 的方程； (2) 试判断是否存在这样的 λ\lambda，使得 AA，BB，CC，DD 四点在同一个圆上，并说明理由.

2005 · 湖北 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知不等式 12+13+⋯+1n>12[log⁡2n]\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{1}{2}\left[\log_{2} n\right]，其中 nn 为大于 22 的整数，[log⁡2n][\log_{2} n] 表示不超过 log⁡2n\log_{2} n 的最大整数. 设数列 {an}\{a_n\} 的各项为正，且满足 a1=ba_1 = b（b>0b > 0），an⩽nan−1n+an−1a_n \leqslant \frac{n a_{n-1}}{n + a_{n-1}}，n=2n = 2，33，44，…\dots.
(1) 证明： an<2b2+b[log⁡2n]a_{n} < \frac{2b}{2 + b[\log_{2} n]}，n=3n = 3，44，55，…\dots； (2) 猜测数列 {an}\{a_{n}\} 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； (3) 试确定一个正整数 NN，使得当 n>Nn > N 时，对任意 b>0b > 0，都有 an<15a_{n} < \frac{1}{5}.

2005 · 湖北 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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