设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$，前 $n$ 项和为 $S_{n}$，若 $S_{n+1}$，$S_{n}$，$S_{n+2}$ 成等差数列，则 $q$ 的值为______.

已知不等式 $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > \frac{1}{2}\left[\log_{2} n\right]$，其中 $n$ 为大于 $2$ 的整数，$[\log_{2} n]$ 表示不超过 $\log_{2} n$ 的最大整数. 设数列 $\{a_n\}$ 的各项为正，且满足 $a_1 = b$（$b > 0$），$a_n \leqslant \frac{n a_{n-1}}{n + a_{n-1}}$，$n = 2$，$3$，$4$，$\dots$.

(1) 证明： $a_{n} < \frac{2b}{2 + b[\log_{2} n]}$，$n = 3$，$4$，$5$，$\dots$； (2) 猜测数列 $\{a_{n}\}$ 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）； (3) 试确定一个正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，对任意 $b > 0$，都有 $a_{n} < \frac{1}{5}$.