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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，若 1+7i2−i=a+bi\frac{1 + 7\mathrm{i}}{2 - \mathrm{i}} = a + b\mathrm{i} （aa，b∈Rb\in\mathbf{R}），则乘积 abab 的值是（ ）
A.
−15-15
B.
−3-3
C.
33
D.
1515

2009 · 安徽 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 A={x∣∣2x−1∣<3}A = \{x \mid |2x - 1| < 3\}，B={x∣2x+13−x<0}B = \left\{x \mid \frac{2x + 1}{3 - x} < 0\right\}，则 A∩BA \cap B 是（ ）
A.
{x∣−1<x<−12或2<x<3}\left\{x\mid -1 < x < -\frac{1}{2}\text{或} 2 < x < 3\right\}
B.
{x∣2<x<3}\{x\mid 2 < x < 3\}
C.
{x∣−12<x<2}\left\{x\mid -\frac{1}{2} < x < 2\right\}
D.
{x∣−1<x<−12}\left\{x\mid -1 < x < -\frac{1}{2}\right\}

2009 · 安徽 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
下列曲线中离心率为 62\frac{\sqrt{6}}{2} 的是（ ）
A.
x22−y24=1\frac{x^2}{2} - \frac{y^2}{4} = 1
B.
x24−y22=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{2} = 1
C.
x24−y26=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{6} = 1
D.
x24−y210=1\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{10} = 1

2009 · 安徽 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04集合与逻辑基础★★☆☆☆
下列选项中，pp 是 qq 的必要不充分条件的是（ ）
A.
p:a+c>b+dp: a + c > b + d，q:a>bq: a > b 且 c>dc > d
B.
p:a>1p: a > 1，b>1b > 1，q:f(x)=ax−bq: f(x) = a^x - b（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）的图象不过第二象限
C.
p:x=1p: x = 1，q:x2=xq: x^2 = x
D.
p:a>1p: a > 1，q:f(x)=log⁡axq: f(x) = \log_a x（a>0a > 0，且 a≠1a \neq 1）在 (0,+∞)(0, +\infty) 上为增函数

2009 · 安徽 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 为等差数列，a1+a3+a5=105a_1 + a_3 + a_5 = 105，a2+a4+a6=99a_2 + a_4 + a_6 = 99. 以 SnS_n 表示 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和，则使得 SnS_n 达到最大值的 nn 是（ ）
A.
2121
B.
2020
C.
1919
D.
1818

2009 · 安徽 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
设 a<ba < b，函数 y=(x−a)2(x−b)y = (x - a)^2(x - b) 的图象可能是（ ）
A.
B.
C.
D.

2009 · 安徽 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07不等式★★★☆☆
若不等式组
{x⩾0,x+3y⩾4,3x+y⩽4\begin{cases} x \geqslant 0,\\ x + 3y \geqslant 4,\\ 3x + y \leqslant 4 \end{cases}
所表示的平面区域被直线 y=kx+43y = kx + \frac{4}{3} 分为面积相等的两部分，则 kk 的值是（ ）
A.
73\frac{7}{3}
B.
37\frac{3}{7}
C.
43\frac{4}{3}
D.
34\frac{3}{4}

2009 · 安徽 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08三角函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)=3sin⁡ωx+cos⁡ωxf(x) = \sqrt{3}\sin \omega x + \cos \omega x （ω>0\omega > 0），y=f(x)y = f(x) 的图象与直线 y=2y = 2 的两个相邻交点的距离等于 π\pi，则 f(x)f(x) 的单调递增区间是（ ）
A.
[kπ−π12,kπ+5π12], k∈Z\left[k\pi - \frac{\pi}{12}, k\pi + \frac{5\pi}{12}\right],\ k\in \mathbf{Z}
B.
[kπ+5π12,kπ+11π12]\left[k\pi + \frac{5\pi}{12}, k\pi + \frac{11\pi}{12}\right]， k∈Z\ k\in \mathbf{Z}
C.
[kπ−π3,kπ+π6]\left[k\pi - \frac{\pi}{3}, k\pi + \frac{\pi}{6}\right]， k∈Z\ k\in \mathbf{Z}
D.
[kπ+π6,kπ+2π3]\left[k\pi + \frac{\pi}{6}, k\pi + \frac{2\pi}{3}\right]， k∈Z\ k\in \mathbf{Z}

2009 · 安徽 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上满足 f(x)=2f(2−x)−x2+8x−8f(x) = 2f(2 - x) - x^2 + 8x - 8，则曲线 y=f(x)y = f(x) 在点 (1,f(1))(1, f(1)) 处的切线方程是（ ）
A.
y=2x−1y = 2x - 1
B.
y=xy = x
C.
y=3x−2y = 3x - 2
D.
y=−2x+3y = -2x + 3

2009 · 安徽 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10概率与统计★★★☆☆
考察正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（ ）
A.
175\frac{1}{75}
B.
275\frac{2}{75}
C.
375\frac{3}{75}
D.
475\frac{4}{75}

2009 · 安徽 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11概率与统计★☆☆☆☆
若随机变量 X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2)，则 P(X⩽μ)=P(X \leqslant \mu) =______.

2009 · 安徽 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12解析几何★★★☆☆
以直角坐标系的原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位. 已知直线的极坐标方程为 θ=π4\theta = \frac{\pi}{4} （ρ∈R\rho \in \mathbf{R}），它与曲线
{x=1+2cos⁡α,y=2+2sin⁡α,\begin{cases} x = 1 + 2\cos \alpha,\\ y = 2 + 2\sin \alpha, \end{cases}
（α\alpha 为参数）相交于两点 AA 和 BB，则 ∣AB∣=|AB| =______.

2009 · 安徽 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13数列★★☆☆☆
程序框图（即算法流程图）如图所示，其输出结果是______.

2009 · 安徽 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14平面向量★★★☆☆
给定两个长度为 1 的平面向量 OA→\overrightarrow{OA} 和 OB→\overrightarrow{OB}，它们的夹角为 120∘120^{\circ}. 如图所示，点 CC 在以 OO 为圆心的圆弧 AB⌢\overset{\frown}{AB} 上变动. 若 OC→=xOA→+yOB→\overrightarrow{OC} = x\overrightarrow{OA} + y\overrightarrow{OB}，其中 xx，y∈Ry\in\mathbf{R}，则 x+yx + y 的最大值是______.

2009 · 安徽 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
对于四面体 ABCDABCD，下列命题正确的是______.（写出所有正确命题的编号）
① 相对棱 ABAB 与 CDCD 所在的直线异面； ② 由顶点 AA 作四面体的高，其垂足是 △BCD\triangle BCD 的三条高线的交点； ③ 若分别作 △ABC\triangle ABC 和 △ABD\triangle ABD 的边 ABAB 上的高，则这两条高所在直线异面； ④ 分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点； ⑤ 最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱.

2009 · 安徽 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，sin⁡(C−A)=1\sin (C - A) = 1，sin⁡B=13\sin B = \frac{1}{3}.
(1) 求 sin⁡A\sin A 的值； (2) 设 AC=6AC = \sqrt{6}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2009 · 安徽 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★★☆☆
某地有 AA，BB，CC，DD 四人先后感染了甲型 H1N1\mathrm{H1N1} 流感. 其中只有 AA 到过疫区. BB 肯定是受 AA 感染的. 对于 CC，因为难以断定他是受 AA 还是受 BB 感染的，于是假定他受 AA 和受 BB 感染的概率都是 12\frac{1}{2}. 同样也假定 DD 受 AA，BB 和 CC 感染的概率都是 13\frac{1}{3}. 在这种假定之下，BB，CC，DD 中直接受 AA 感染的人数 XX 就是一个随机变量. 写出 XX 的分布列（不要求写出计算过程），并求 XX 的均值（即数学期望）.

2009 · 安徽 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 F−ABCDF - ABCD 的底面 ABCDABCD 是菱形，其对角线 AC=2AC = 2，BD=2BD = \sqrt{2}，AEAE，CFCF 都与平面 ABCDABCD 垂直，AE=1AE = 1，CF=2CF = 2.
(1) 求二面角 B−AF−DB - AF - D 的大小； (2) 求四棱锥 E−ABCDE - ABCD 与四棱锥 F−ABCDF - ABCD 公共部分的体积.

2009 · 安徽 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x−2x+a(2−ln⁡x)f(x) = x - \frac{2}{x} + a(2 - \ln x)，a>0a > 0. 讨论 f(x)f(x) 的单调性.

2009 · 安徽 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
点 P(x0,y0)P(x_0, y_0) 在椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 （a>b>0a > b > 0）上，x0=acos⁡βx_0 = a \cos \beta，y0=bsin⁡βy_0 = b \sin \beta，0<β<π20 < \beta < \frac{\pi}{2}，直线 l2l_2 与直线 l1: x0a2x+y0b2y=1l_1:\ \frac{x_0}{a^2} x + \frac{y_0}{b^2} y = 1 垂直，OO 为坐标原点，直线 OPOP 的倾斜角为 α\alpha，直线 l2l_2 的倾斜角为 γ\gamma.
(1) 证明：点 PP 是椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 与直线 l1l_1 的唯一交点； (2) 证明： tan⁡α\tan \alpha，tan⁡β\tan \beta，tan⁡γ\tan \gamma 构成等比数列.

2009 · 安徽 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★☆
首项为正数的数列 {an}\{a_n\} 满足 an+1=14(an2+3)a_{n + 1} = \frac{1}{4} (a_n^2 + 3)，n∈N+n\in \mathbf{N}_+.
(1) 证明：若 a1a_1 为奇数，则对一切 n⩾2n \geqslant 2，ana_n 都是奇数； (2) 若对一切 n∈N+n \in \mathbf{N}_+ 都有 an+1>ana_{n+1} > a_n，求 a1a_1 的取值范围.

2009 · 安徽 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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