设 $z=a+b\mathrm{i}$（$a$，$b\in\mathbf{R}$，$b\neq0$，$\mathrm{i}$ 为虚数单位），$w=z+\frac{1}{z}$ 是实数，且 $-1<w<2$.

(1) 求 $\left|z\right|$ 的值及 $z$ 的实部的取值范围； (2) 设 $u=\frac{1-z}{1+z}$. 求证：$u$ 为纯虚数； (3) 求 $w-u^2$ 的最小值.