已知 $A(-1,2)$ 为抛物线 $C:y=2x^2$ 上的点，直线 $l_1$ 过点 $A$，且与抛物线 $C$ 相切. 直线 $l_2:x=a$（$a\neq-1$）交抛物线 $C$ 于点 $B$，交直线 $l_1$ 于点 $D$.

(1) 求直线 $l_1$ 的方程； (2) 设 $\triangle ABD$ 的面积为 $S_1$，求 $|BD|$ 及 $S_1$ 的值； (3) 设由抛物线 $C$，直线 $l_1$，$l_2$ 所围成的图形的面积为 $S_2$，求证：$S_1:S_2$ 的值为与 $a$ 无关的常数.