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05
指数函数与对数函数
★☆☆☆☆
某种细菌在培养过程中，每
20
分钟
20\text{ 分钟}
20
分钟
分裂一次（
1
个
1\text{ 个}
1
个
分裂为
2
个
2\text{ 个}
2
个
）. 经过
3
小时
3\text{ 小时}
3
小时
，这种细菌由
1
个
1\text{ 个}
1
个
可繁殖成（ ）
A.
511
个
511\text{ 个}
511
个
B.
512
个
512\text{ 个}
512
个
C.
1023
个
1023\text{ 个}
1023
个
D.
1024
个
1024\text{ 个}
1024
个
1994 · 全国 · 文 · 第 5 题 · 选择题
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15
函数与初等函数
★★★☆☆
定义在
(
−
∞
,
+
∞
)
(- \infty, + \infty)
(
−
∞
,
+
∞
)
上的任意函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
都可以表示成一个奇函数
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
和一个偶函数
h
(
x
)
h(x)
h
(
x
)
之和，如果
f
(
x
)
=
lg
(
10
x
+
1
)
f(x) = \lg (10^{x} + 1)
f
(
x
)
=
l
g
(
1
0
x
+
1
)
，
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
x \in (-\infty, +\infty)
x
∈
(
−
∞
,
+
∞
)
，那么（ ）
A.
g
(
x
)
=
x
g(x) = x
g
(
x
)
=
x
，
h
(
x
)
=
lg
(
10
x
+
10
−
x
+
2
)
h(x) = \lg (10^{x} + 10^{-x} + 2)
h
(
x
)
=
l
g
(
1
0
x
+
1
0
−
x
+
2
)
B.
g
(
x
)
=
1
2
[
lg
(
10
x
+
1
)
+
x
]
g(x) = \frac{1}{2}\bigl[\lg (10^{x} + 1) + x\bigr]
g
(
x
)
=
2
1
[
l
g
(
1
0
x
+
1
)
+
x
]
，
h
(
x
)
=
1
2
[
lg
(
10
x
+
1
)
−
x
]
h(x) = \frac{1}{2}\bigl[\lg (10^{x} + 1) - x\bigr]
h
(
x
)
=
2
1
[
l
g
(
1
0
x
+
1
)
−
x
]
C.
g
(
x
)
=
x
2
g(x) = \frac{x}{2}
g
(
x
)
=
2
x
，
h
(
x
)
=
lg
(
10
x
+
1
)
−
x
2
h(x) = \lg (10^x + 1) - \frac{x}{2}
h
(
x
)
=
l
g
(
1
0
x
+
1
)
−
2
x
D.
g
(
x
)
=
−
x
2
g(x) = -\frac{x}{2}
g
(
x
)
=
−
2
x
，
h
(
x
)
=
lg
(
10
x
+
1
)
+
x
2
h(x) = \lg (10^x + 1) + \frac{x}{2}
h
(
x
)
=
l
g
(
1
0
x
+
1
)
+
2
x
1994 · 全国 · 文 · 第 15 题 · 选择题
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22
指数函数与对数函数
★★★☆☆
已知函数
f
(
x
)
=
log
a
x
f(x) = \log_a x
f
(
x
)
=
lo
g
a
x
（
a
>
0
a > 0
a
>
0
且
a
≠
1
a \neq 1
a
=
1
，
x
∈
R
+
x \in \mathbf{R}_+
x
∈
R
+
），若
x
1
x_1
x
1
，
x
2
∈
R
+
x_2 \in \mathbf{R}_+
x
2
∈
R
+
，判断
1
2
[
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
]
\frac{1}{2} [f(x_1) + f(x_2)]
2
1
[
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)]
与
f
(
x
1
+
x
2
2
)
f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)
f
(
2
x
1
+
x
2
)
的大小，并加以证明.
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