已知函数 $f(x) = \log_a x$（$a > 0$ 且 $a \neq 1$，$x \in \mathbf{R}_+$），若 $x_1$，$x_2 \in \mathbf{R}_+$，判断 $\frac{1}{2} [f(x_1) + f(x_2)]$ 与 $f\left(\frac{x_1 + x_2}{2}\right)$ 的大小，并加以证明.