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01复数★☆☆☆☆
已知 z=2+iz=2+i，则 zˉ=‾\bar z=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知 A=(−1,2)A=(-1,2)，B=(1,3)B=(1,3)，则 A∩B=‾A\cap B=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03不等式★☆☆☆☆
不等式 x−1x<0\dfrac{x-1}{x}<0 的解集为______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04三角函数★☆☆☆☆
已知 tan⁡α=3\tan\alpha=3，则 tan⁡(α+π4)=‾\tan\left(\alpha+\dfrac\pi4\right)=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 春季 · 第 4 题 · 填空题

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05解析几何★★☆☆☆
已知方程组
{x+my=2,mx+16y=8\begin{cases} x+my=2,\\ mx+16y=8 \end{cases}
有无穷解，则 mm 的值为______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=x3f(x)=x^3 的反函数为 y=f−1(x)y=f^{-1}(x)，则 f−1(27)=‾f^{-1}(27)=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (x3+1x)12\left(x^3+\dfrac1x\right)^{12} 的展开式中，含 1x4\dfrac1{x^4} 项的系数为______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 7 题 · 填空题

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08三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A=π3\angle A=\dfrac\pi3，AB=2AB=2，AC=3AC=3，则 △ABC\triangle ABC 的外接圆半径为______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 8 题 · 填空题

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
已知有 11，22，33，44 四个数字组成无重复数字，则比 21342134 大的四位数的个数为______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 9 题 · 填空题

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10平面向量★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠C=π2\angle C=\dfrac\pi2，AC=BC=2AC=BC=2，MM 为 ACAC 的中点，PP 在线段 ABAB 上，则 MP→⋅CP→\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{CP} 的最小值为______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★★★☆
已知双曲线 x2a2−y2=1\dfrac{x^2}{a^2}-y^2=1，其中 a>0a>0，双曲线右支上有任意两点 P1(x1,y1)P_1(x_1,y_1)，P2(x2,y2)P_2(x_2,y_2)，满足 x1x2−y1y2>0x_1x_2-y_1y_2>0 恒成立，则 aa 的取值范围是______.

2022 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★★★☆
已知 f(x)f(x) 为奇函数，当 x∈(0,1]x\in(0,1] 时，f(x)=ln⁡xf(x)=\ln x，且 f(x)f(x) 关于直线 x=1x=1 对称. 设 f(x)=x+1f(x)=x+1 的正数解依次为 x1x_1，x2x_2，x3x_3，…\ldots，xnx_n，…\ldots，则 lim⁡n→∞(xn+1−xn)=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}(x_{n+1}-x_n)=\underline{\hspace{2em}}.

2022 · 上海 · 春季 · 第 12 题 · 填空题

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数定义域为 R\mathbf{R} 的是（ ）
A.
y=x−12y=x^{-\frac12}
B.
y=x−1y=x^{-1}
C.
y=x13y=x^{\frac13}
D.
y=x12y=x^{\frac12}

2022 · 上海 · 春季 · 第 13 题 · 选择题

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14不等式★★☆☆☆
已知 a>b>c>da>b>c>d，下列选项中正确的是（ ）
A.
a+d>b+ca+d>b+c
B.
a+c>b+da+c>b+d
C.
ad>bcad>bc
D.
ac>bdac>bd

2022 · 上海 · 春季 · 第 14 题 · 选择题

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15立体几何初步★★☆☆☆
如图，上海海关大楼的上面可以看作一个正四棱柱，四个侧面有四个时钟，则相邻两个时钟的时针从 00 时转到 1212 时（含 00 时不含 1212 时）的过程中，能够相互垂直（ ）次.
A.
00
B.
22
C.
44
D.
1212

2022 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16数列★★★☆☆
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n，前 nn 项积为 TnT_n，则下列选项判断正确的是（ ）
A.
若 S2022>S2021S_{2022}>S_{2021}，则数列 {an}\{a_n\} 是递增数列
B.
若 T2022>T2021T_{2022}>T_{2021}，则数列 {an}\{a_n\} 是递增数列
C.
若数列 {Sn}\{S_n\} 是递增数列，则 a2022≥a2021a_{2022}\ge a_{2021}
D.
若数列 {Tn}\{T_n\} 是递增数列，则 a2022≥a2021a_{2022}\ge a_{2021}

2022 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★☆☆☆
如图，在圆柱 OO1OO_1 中，底面半径为 11，AA1AA_1 为圆柱 OO1OO_1 的母线.
(1) 若 AA1=4AA_1=4，MM 为 AA1AA_1 的中点，求直线 MO1MO_1 与底面的夹角大小； (2) 若圆柱的轴截面为正方形，求该圆柱的侧面积和体积.

2022 · 上海 · 春季 · 第 17 题 · 解答题

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18数列★★★★☆
已知数列 {an}\{a_n\}，a2=1a_2=1，{an}\{a_n\} 的前 nn 项和为 SnS_n.
(1) 若 {an}\{a_n\} 为等比数列，S2=3S_2=3，求 lim⁡n→∞Sn\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n； (2) 若 {an}\{a_n\} 为等差数列，公差为 dd，对任意 n∈N∗n\in\mathbf{N}^*，均满足 S2n≥nS_{2n}\ge n，求 dd 的取值范围.

2022 · 上海 · 春季 · 第 18 题 · 解答题

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19三角函数★★★★☆
如图，矩形 ABCDABCD 区域内，DD 处有一棵古树，为保护古树，以 DD 为圆心，DADA 为半径划定圆 DD 作为保护区域，已知 AB=30 mAB=30\mathrm{~m}，AD=15 mAD=15\mathrm{~m}，点 EE 为 ABAB 上的动点，点 FF 为 CDCD 上的动点，满足 EFEF 与圆 DD 相切.
(1) 若 ∠ADE=20∘\angle ADE=20^\circ，求 EFEF 的长； (2) 当点 EE 在 ABAB 的什么位置时，梯形 FEBCFEBC 的面积有最大值，最大面积为多少？
（长度精确到 0.1 m0.1\mathrm{~m}，面积精确到 0.01 m20.01\mathrm{~m}^2）

2022 · 上海 · 春季 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在椭圆 Γ:x2a2+y2=1\Gamma:\dfrac{x^2}{a^2}+y^2=1 中，直线 l:x=al:x=a 上有两点 CC，DD（CC 点在第一象限），左顶点为 AA，下顶点为 BB，右焦点为 FF.
(1) 若 ∠AFB=π6\angle AFB=\dfrac\pi6，求椭圆 Γ\Gamma 的标准方程； (2) 若点 CC 的纵坐标为 22，点 DD 的纵坐标为 11，则 BCBC 与 ADAD 的交点是否在椭圆上？请说明理由； (3) 已知直线 BCBC 与椭圆 Γ\Gamma 相交于点 PP，直线 ADAD 与椭圆 Γ\Gamma 相交于点 QQ，若 PP 与 QQ 关于原点对称，求 ∣CD∣\lvert CD\rvert 的最小值.

2022 · 上海 · 春季 · 第 20 题 · 解答题

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21函数与初等函数★★★★★
已知函数 f(x)f(x)，甲变化：f(x)−f(x−t)f(x)-f(x-t)；乙变化：∣f(x+t)−f(x)∣\lvert f(x+t)-f(x)\rvert，t>0t>0.
(1) 若 t=1t=1，f(x)=2xf(x)=2^x，f(x)f(x) 经甲变化得到 g(x)g(x)，求方程 g(x)=2g(x)=2 的解； (2) 若 f(x)=x2f(x)=x^2，f(x)f(x) 经乙变化得到 h(x)h(x)，求不等式 h(x)≤f(x)h(x)\le f(x) 的解集； (3) 若 f(x)f(x) 在 (−infty,0)(-infty,0) 上单调递增，将 f(x)f(x) 先进行甲变化得到 u(x)u(x)，再将 u(x)u(x) 进行乙变化得到 h1(x)h_1(x)；将 f(x)f(x) 先进行乙变化得到 v(x)v(x)，再将 v(x)v(x) 进行甲变化得到 h2(x)h_2(x)，若对任意 t>0t>0，总存在 h1(x)=h2(x)h_1(x)=h_2(x) 成立，求证：f(x)f(x) 在 R\mathbf{R} 上单调递增.

2022 · 上海 · 春季 · 第 21 题 · 解答题

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