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01数列★☆☆☆☆
计算：lim⁡n→∞3n−24n+3=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{3n-2}{4n+3}=______.

2006 · 上海 · 春季 · 第 1 题 · 填空题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
方程 log⁡3(2x−1)=1\log_3(2x-1)=1 的解 x=x=______.

2006 · 上海 · 春季 · 第 2 题 · 填空题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=3x+5f(x)=3x+5（x∈[0,1]x\in[0,1]）的反函数 f−1(x)=f^{-1}(x)=______.

2006 · 上海 · 春季 · 第 3 题 · 填空题

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04不等式★☆☆☆☆
不等式 1−2xx+1>0\dfrac{1-2x}{x+1}>0 的解集是______.

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05解析几何★★☆☆☆
已知圆 C:(x+5)2+y2=r2C:(x+5)^2+y^2=r^2（r>0r>0）和直线 l:3x+y+5=0l:3x+y+5=0. 若圆 CC 与直线 ll 没有公共点，则 rr 的取值范围是______.

2006 · 上海 · 春季 · 第 5 题 · 填空题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是定义在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上的偶函数. 当 x∈(−∞,0)x\in(-\infty,0) 时，f(x)=x−x4f(x)=x-x^4，则当 x∈(0,+∞)x\in(0,+\infty) 时，f(x)=f(x)=______.

2006 · 上海 · 春季 · 第 6 题 · 填空题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
电视台连续播放 66 个广告，其中含 44 个不同的商业广告和 22 个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有______ 种不同的播放方式（结果用数值表示）.

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08立体几何初步★★☆☆☆
正四棱锥底面边长为 44，侧棱长为 33，则其体积为______.

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09三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 BC=8BC=8，AC=5AC=5，三角形面积为 1212，则 cos⁡2C=\cos2C=______.

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10平面向量★★☆☆☆
若向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b} 的夹角为 150∘150^\circ，∣a∣=3|\boldsymbol{a}|=\sqrt3，∣b∣=4|\boldsymbol{b}|=4，则 ∣2a+b∣=|2\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}|=______.

2006 · 上海 · 春季 · 第 10 题 · 填空题

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11不等式★★★☆☆
已知直线 ll 过点 P(2,1)P(2,1)，且与 xx 轴，yy 轴的正半轴分别交于 AA，BB 两点，OO 为坐标原点，则三角形 OABOAB 面积的最小值为______.

2006 · 上海 · 春季 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★★☆☆
同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n 满足 a1≤a2≤⋯≤ana_1\le a_2\le\cdots\le a_n，则（结论用数学式子表示）______.

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13解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=4xy^2=4x 的焦点坐标为（ ）
A.
(0,1)(0,1)
B.
(1,0)(1,0)
C.
(0,2)(0,2)
D.
(2,0)(2,0)

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14不等式★☆☆☆☆
若 aa，bb，c∈Rc\in\mathbf{R}，a>ba>b，则下列不等式成立的是（ ）
A.
1a<1b\dfrac1a<\dfrac1b
B.
a2>b2a^2>b^2
C.
ac2+1>bc2+1\dfrac{a}{c^2+1}>\dfrac{b}{c^2+1}
D.
a∣c∣>b∣c∣a|c|>b|c|

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15解析几何★★☆☆☆
若 k∈Rk\in\mathbf{R}，则“k>3k>3”是“方程 x2k−3−y2k+3=1\dfrac{x^2}{k-3}-\dfrac{y^2}{k+3}=1 表示双曲线”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2006 · 上海 · 春季 · 第 15 题 · 选择题

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16集合与逻辑基础★★☆☆☆
若集合 A={y∣y=x13,−1≤x≤1}A=\left\{y\mid y=x^{\frac13},-1\le x\le1\right\}，B={y∣y=2−1x,0<x≤1}B=\left\{y\mid y=2-\dfrac1x,0<x\le1\right\}，则 A∩BA\cap B 等于（ ）
A.
(−∞,1](-\infty,1]
B.
[−1,1][-1,1]
C.
∅\varnothing
D.
{1}\{1\}

2006 · 上海 · 春季 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★★★☆☆
在长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 中，已知 DA=DC=4DA=DC=4，DD1=3DD_1=3，求异面直线 A1BA_1B 与 B1CB_1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.

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18复数★★★☆☆
已知复数 ww 满足 w−4=(3−2w)iw-4=(3-2w)\mathrm{i}（i\mathrm{i} 为虚数单位），z=5w+∣w−2∣z=\dfrac{5}{w}+|w-2|，求一个以 zz 为根的实系数一元二次方程.

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19三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=2sin⁡(x+π6)−2cos⁡xf(x)=2\sin\left(x+\dfrac{\pi}{6}\right)-2\cos x，x∈[π2,π]x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right].
(1) 若 sin⁡x=45\sin x=\dfrac45，求函数 f(x)f(x) 的值； (2) 求函数 f(x)f(x) 的值域.

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20解析几何★★★☆☆
学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验. 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为 x2100+y225=1\dfrac{x^2}{100}+\dfrac{y^2}{25}=1，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以 yy 轴为对称轴，M(0,647)M\left(0,\dfrac{64}{7}\right) 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 D(8,0)D(8,0). 观测点 A(4,0)A(4,0)，B(6,0)B(6,0) 同时跟踪航天器.
(1) 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程； (2) 当航天器在 xx 轴上方时，观测点 AA，BB 测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？

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21不等式★★★★☆
设函数 f(x)=∣x2−4x−5∣f(x)=|x^2-4x-5|.
(1) 在区间 [−2,6][-2,6] 上画出函数 f(x)f(x) 的图象； (2) 设集合 A={x∣f(x)≥5}A=\{x\mid f(x)\ge5\}，B=(−∞,−2]∪[0,4]∪[6,+∞)B=(-\infty,-2]\cup[0,4]\cup[6,+\infty). 试判断集合 AA 和 BB 之间的关系，并给出证明； (3) 当 k>2k>2 时，求证：在区间 [−1,5][-1,5] 上，y=k(x+3)y=k(x+3) 的图象位于函数 f(x)f(x) 图象的上方.

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22数列★★★★☆
已知数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a30a_{30}，其中 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，a10a_{10} 是首项为 11，公差为 11 的等差数列；a10a_{10}，a11a_{11}，⋯\cdots，a20a_{20} 是公差为 dd 的等差数列；a20a_{20}，a21a_{21}，⋯\cdots，a30a_{30} 是公差为 d2d^2 的等差数列（d≠0d\ne0）.
(1) 若 a20=40a_{20}=40，求 dd； (2) 试写出 a30a_{30} 关于 dd 的关系式，并求 a30a_{30} 的取值范围； (3) 续写已知数列，使得 a30a_{30}，a31a_{31}，⋯\cdots，a40a_{40} 是公差为 d3d^3 的等差数列，……，依次类推，把已知数列推广为无穷数列. 提出同第 22 问类似的问题，并使第 22 问作为特例进行研究，你能得到什么样的结论？

2006 · 上海 · 春季 · 第 22 题 · 解答题

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