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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 A={x∣x2−1>0}A = \{x \mid x^2 - 1 > 0\}，B={x∣log⁡2x>0}B = \{x \mid \log_2 x > 0\}，A∩BA \cap B 等于（ ）
A.
{x∣x>1}\{x \mid x > 1\}
B.
{x∣x>0}\{x \mid x > 0\}
C.
{x∣x<−1}\{x \mid x < -1\}
D.
{x∣x<−1 或 x>1}\{x \mid x < -1 \text{\ 或\ } x > 1\}

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★☆☆☆☆
设 y1=40.9y_1 = 4^{0.9}，y2=80.44y_2 = 8^{0.44}，y3=(12)−1.5y_3 = \left(\frac{1}{2}\right)^{-1.5}，则（ ）
A.
y3>y1>y2y_3 > y_1 > y_2
B.
y2>y1>y3y_2 > y_1 > y_3
C.
y1>y2>y3y_1 > y_2 > y_3
D.
y1>y3>y2y_1 > y_3 > y_2

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03三角函数★★☆☆☆
“cos⁡2α=−32\cos 2\alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}”是“α=kπ+5π12\alpha = k\pi + \frac{5\pi}{12}，（k∈Zk \in \mathbf{Z}）”的（ ）
A.
必要非充分条件
B.
充分非必要条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分又非必要条件

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★☆☆☆
已知 α\alpha，β\beta 是平面，mm，nn 是直线. 下列命题中不正确的是（ ）
A.
若 m∥nm \parallel n，m⊥αm \perp \alpha，则 n⊥αn \perp \alpha
B.
若 m∥αm \parallel \alpha，α∩β=n\alpha \cap \beta = n，则 m∥nm \parallel n
C.
若 m⊥αm \perp \alpha，m⊥βm \perp \beta，则 α∥β\alpha \parallel \beta
D.
若 m⊥αm \perp \alpha，m⊂βm \subset \beta，则 α⊥β\alpha \perp \beta

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
如图，直线 l:x−2y+2=0l: x - 2y + 2 = 0 过椭圆的左焦点 F1F_1 和一个顶点 BB，该椭圆的离心率是（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
25\frac{2}{5}
C.
55\frac{\sqrt{5}}{5}
D.
255\frac{2\sqrt{5}}{5}

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06复数★★☆☆☆
若 z∈Cz \in \mathbf{C} 且 ∣z+2−2i∣=1\left|z + 2 - 2\mathrm{i}\right| = 1，则 ∣z−2−2i∣\left|z - 2 - 2\mathrm{i}\right| 的最小值是（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
如果圆台的母线与底面成 60∘60^{\circ} 角，那么这个圆台的侧面积与轴截面面积的比为（ ）
A.
2π2\pi
B.
32π\frac{3}{2}\pi
C.
233π\frac{2\sqrt{3}}{3}\pi
D.
12π\frac{1}{2}\pi

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08数列★★★☆☆
若数列 {an}\{a_n\} 的通项公式是 an=3−n+(−1)n3−n2a_n = \frac{3^{-n} + (-1)^n 3^{-n}}{2}，n=1n = 1，22，…\ldots，则 lim⁡n→∞(a1+a2+⋯+an)\displaystyle\lim_{n \to \infty}(a_1 + a_2 + \cdots + a_n) 等于（ ）
A.
124\frac{1}{24}
B.
18\frac{1}{8}
C.
16\frac{1}{6}
D.
12\frac{1}{2}

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09计数原理与组合数学★★☆☆☆
从黄瓜，白菜，油菜，扁豆 44 种蔬菜品种中选出 33 种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（ ）
A.
2424 种
B.
1818 种
C.
1212 种
D.
66 种

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10函数与初等函数★★☆☆☆
某班试用电子投票系统选举班干部候选人. 全班 kk 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 11，22，…\ldots，kk，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
aij={1,第 i 号同学同意第 j 号同学当选,0,第 i 号同学不同意第 j 号同学当选.a_{ij} = \begin{cases} 1,& \text{第 } i\text{ 号同学同意第 }j\text{ 号同学当选},\\ 0,& \text{第 } i\text{ 号同学不同意第 }j\text{ 号同学当选}. \end{cases}
其中 i=1i = 1，22，…\ldots，kk，且 j=1j = 1，22，…\ldots，kk，则同时同意第 11，22 号同学当选的人数为（ ）
A.
a11+a12+⋯+a1k+a21+a22+⋯+a2ka_{11} + a_{12} + \cdots + a_{1k} + a_{21} + a_{22} + \cdots + a_{2k}
B.
a11+a21+⋯+ak1+a12+a22+⋯+ak2a_{11} + a_{21} + \cdots + a_{k1} + a_{12} + a_{22} + \cdots + a_{k2}
C.
a11a12+a21a22+⋯+ak1ak2a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + \cdots + a_{k1}a_{k2}
D.
a11a21+a12a22+⋯+a1ka2ka_{11}a_{21} + a_{12}a_{22} + \cdots + a_{1k}a_{2k}

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11立体几何初步★☆☆☆☆
已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径为______.

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡(1+x2)f(x) = \lg(1 + x^2)，g(x)=2−∣x∣g(x) = 2 - |x|，h(x)=tan⁡2xh(x) = \tan 2x 中，______是偶函数.

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13解析几何★★☆☆☆
以双曲线 x216−y29=1\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1 右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是______.

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14导数及其应用★★★☆☆
将长度为 11 的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为______.

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡4x−2sin⁡xcos⁡x−sin⁡4xf(x) = \cos^4 x - 2 \sin x \cos x - \sin^4 x.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 的最大值，最小值.

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16数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_n\} 是等差数列，且 a1=2a_1 = 2，a1+a2+a3=12a_1 + a_2 + a_3 = 12.
(1) 求数列 {an}\{a_n\} 的通项公式； (2) 令 bn=an⋅3nb_n = a_n \cdot 3^n，求数列 {bn}\{b_n\} 前 nn 项和的公式.

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_1B_1C_1 中，DD 是 BCBC 的中点，AB=aAB = a.
(1) 求证：直线 A1D⊥B1C1A_1D \perp B_1C_1； (2) 求点 DD 到平面 ACC1ACC_1 的距离； (3) 判断 A1BA_1B 与平面 ADC1ADC_1 的位置关系，并证明你的结论.

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18解析几何★★★★☆
如图，A1A_1，A2A_2 为椭圆的两个顶点，F1F_1，F2F_2 为椭圆的两个焦点.
(1) 写出椭圆的方程及准线方程； (2) 过线段 OAOA 上异于 OO，AA 的任一点 KK 作 OAOA 的垂线，交椭圆于 PP，P1P_1 两点，直线 A1PA_1P 与 AP1AP_1 交于点 MM. 求证：点 MM 在双曲线 x225−y29=1\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{9} = 1 上.

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19函数与初等函数★★★★☆
有三个新兴城镇，分别位于 AA，BB，CC 三点处，且 AB=AC=13 kmAB = AC = 13 \mathrm{~km}，BC=10 kmBC = 10 \mathrm{~km}. 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BCBC 的垂直平分线上的 PP 点处.（建立坐标系如图）
(1) 若希望点 PP 到三镇距离的平方和为最小，点 PP 应位于何处？ (2) 若希望点 PP 到三镇的最远距离为最小，点 PP 应位于何处？

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20函数与初等函数★★★★☆
设 y=f(x)y = f(x) 是定义在区间 [−1,1][-1,1] 上的函数，且满足条件：
① f(−1)=f(1)=0f(-1) = f(1) = 0； ② 对任意的 uu，v∈[−1,1]v \in [-1,1]，都有 ∣f(u)−f(v)∣⩽∣u−v∣\left|f(u) - f(v)\right| \leqslant |u - v|.
(1) 证明：对任意的 x∈[−1,1]x \in [-1,1]，x−1⩽f(x)⩽1−xx - 1 \leqslant f(x) \leqslant 1 - x； (2) 判断函数
g(x)={1+x,x∈[−1,0),1−x,x∈[0,1]g(x) = \begin{cases} 1 + x,& x \in [-1,0),\\ 1 - x,& x \in [0,1] \end{cases}
是否满足题设条件； (3) 在区间 [−1,1][-1,1] 上是否存在满足题设条件的函数 y=f(x)y = f(x)，且使得对任意的 uu，v∈[−1,1]v \in [-1,1]，都有 ∣f(u)−f(v)∣=u−v\left|f(u) - f(v)\right| = u - v，若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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