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10函数与初等函数★★☆☆☆
某班试用电子投票系统选举班干部候选人. 全班 kk 名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为 11，22，…\ldots，kk，规定：同意按“1”，不同意（含弃权）按“0”，令
aij={1,第 i 号同学同意第 j 号同学当选,0,第 i 号同学不同意第 j 号同学当选.a_{ij} = \begin{cases} 1,& \text{第 } i\text{ 号同学同意第 }j\text{ 号同学当选},\\ 0,& \text{第 } i\text{ 号同学不同意第 }j\text{ 号同学当选}. \end{cases}
其中 i=1i = 1，22，…\ldots，kk，且 j=1j = 1，22，…\ldots，kk，则同时同意第 11，22 号同学当选的人数为（ ）
A.
a11+a12+⋯+a1k+a21+a22+⋯+a2ka_{11} + a_{12} + \cdots + a_{1k} + a_{21} + a_{22} + \cdots + a_{2k}
B.
a11+a21+⋯+ak1+a12+a22+⋯+ak2a_{11} + a_{21} + \cdots + a_{k1} + a_{12} + a_{22} + \cdots + a_{k2}
C.
a11a12+a21a22+⋯+ak1ak2a_{11}a_{12} + a_{21}a_{22} + \cdots + a_{k1}a_{k2}
D.
a11a21+a12a22+⋯+a1ka2ka_{11}a_{21} + a_{12}a_{22} + \cdots + a_{1k}a_{2k}

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 f(x)=lg⁡(1+x2)f(x) = \lg(1 + x^2)，g(x)=2−∣x∣g(x) = 2 - |x|，h(x)=tan⁡2xh(x) = \tan 2x 中，______是偶函数.

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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19函数与初等函数★★★★☆
有三个新兴城镇，分别位于 AA，BB，CC 三点处，且 AB=AC=13 kmAB = AC = 13 \mathrm{~km}，BC=10 kmBC = 10 \mathrm{~km}. 今计划合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在 BCBC 的垂直平分线上的 PP 点处.（建立坐标系如图）
(1) 若希望点 PP 到三镇距离的平方和为最小，点 PP 应位于何处？ (2) 若希望点 PP 到三镇的最远距离为最小，点 PP 应位于何处？

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★★★☆
设 y=f(x)y = f(x) 是定义在区间 [−1,1][-1,1] 上的函数，且满足条件：
① f(−1)=f(1)=0f(-1) = f(1) = 0； ② 对任意的 uu，v∈[−1,1]v \in [-1,1]，都有 ∣f(u)−f(v)∣⩽∣u−v∣\left|f(u) - f(v)\right| \leqslant |u - v|.
(1) 证明：对任意的 x∈[−1,1]x \in [-1,1]，x−1⩽f(x)⩽1−xx - 1 \leqslant f(x) \leqslant 1 - x； (2) 判断函数
g(x)={1+x,x∈[−1,0),1−x,x∈[0,1]g(x) = \begin{cases} 1 + x,& x \in [-1,0),\\ 1 - x,& x \in [0,1] \end{cases}
是否满足题设条件； (3) 在区间 [−1,1][-1,1] 上是否存在满足题设条件的函数 y=f(x)y = f(x)，且使得对任意的 uu，v∈[−1,1]v \in [-1,1]，都有 ∣f(u)−f(v)∣=u−v\left|f(u) - f(v)\right| = u - v，若存在，请举一例；若不存在，请说明理由.

2003 · 北京 · 秋季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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