如图是求 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + \cdots + 100^{2}$ 的值的程序框图，则正整数 $n =$______.

若数列 $\{a_n\}$ 满足：对任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，只有有限个正整数 $m$ 使得 $a_m < n$ 成立. 记这样的 $m$ 的个数为 $(a_n)^*$，则得到一个新数列 $\{(a_n)^*\}$. 例如，若数列 $\{a_n\}$ 是 $1$，$2$，$3$，$\cdots$，$n$，$\cdots$，则数列 $\{(a_n)^*\}$ 是 $0$，$1$，$2$，$\cdots$，$n - 1$，$\cdots$. 已知对任意的 $n \in \mathbf{N}^{*}$，$a_n = n^2$，则 $(a_5)^* =\underline{\hspace{2em}}$，$((a_n)^*)^* =\underline{\hspace{2em}}$.

为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距 $8 \mathrm{~km}$ 的 $A$，$B$ 两点各建一个考察基地. 视冰川面为平面形，以过 $A$，$B$ 两点的直线为 $x$ 轴，线段 $AB$ 的垂直平分线为 $y$ 轴建立平面直角坐标系（如图）. 在直线 $x = 2$ 的右侧，考察范围为到点 $B$ 的距离不超过 $\frac{6\sqrt{5}}{5} \mathrm{~km}$ 的区域. 在直线 $x = 2$ 的左侧，考察范围为到 $A$，$B$ 两点的距离之和不超过 $4\sqrt{5} \mathrm{~km}$ 的区域.

(1) 求考察区域边界曲线的方程； (2) 如图所示，设线段 $P_{1}P_{2}$，$P_{2}P_{3}$ 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 $0.2 \mathrm{~km}$，以后每年移动的距离为前一年的 2 倍. 求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 在直线 $x=2$ 的右侧，考察区域是以 $B\left(4,0\right)$ 为圆心、半径为 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$ 的圆的内部，因此其边界曲线为 $C_{1}:\left(x-4\right)^2+y^2=\frac{36}{5}$，$x\geqslant2$. 在直线 $x=2$ 的左侧，考察区域边界是以 $A\left(-4,0\right)$，$B\left(4,0\right)$ 为焦点的椭圆. 设其长半轴为 $\alpha$，半焦距为 $c_{0}$，则 $2\alpha=4\sqrt{5}$，$c_{0}=4$，从而 $\alpha=2\sqrt{5}$，短半轴平方为 $\alpha^2-c_{0}^2=4$. 所以另一段边界曲线为 $C_{2}:\frac{x^2}{20}+\frac{y^2}{4}=1$，$x<2$. \item 直线段 $P_{1}P_{2}$ 的斜率为 故其所在直线方程为 $\sqrt{3}x-y+14=0$. 对椭圆内部的点，有 等号在 $\left(-\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)$ 处取得，且该点满足 $x<2$，属于考察区域边界. 所以从直线 $P_{1}P_{2}$ 沿法向朝考察区域移动，首次接触考察区域所需的距离为 该椭圆边界点到原直线的垂足为 $(-4\sqrt{3},2)$，其纵坐标在 $[-1,6]$ 内，故垂足确在线段 $P_{1}P_{2}$ 上，以上距离确实是该线段的最小移动距离. 直线段 $P_{2}P_{3}$ 所在直线为 $y=6$. 考察区域的最高点纵坐标为圆 $C_{1}$ 的最高点纵坐标 $\frac{6\sqrt{5}}{5}$，所以该线段向下移动至考察区域至少需要 圆的最高点横坐标为 $4$，位于线段 $P_{2}P_{3}$ 的横坐标范围内，所以这个距离也确实可以在该线段上取得. 因此冰川边界线首次移动到考察区域时，所需移动距离为 $3\text{ km}$.

设经过 $n$ 年移动的总距离为 $s_n$，则 有 $s_3=1.4<3$，$s_4=3$，故冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间为 $4$ 年. \end{enumerate} \end{solution}

数列 $\{a_{n}\}$ （$n\in\mathbf{N}^{*}$） 中， $a_1 = a$，$a_{n + 1}$ 是函数 $f_{n}(x) = \frac{1}{3}x^{3} - \frac{1}{2}(3a_n + n^2)x^2 + 3n^2a_nx$ 的极小值点.

(1) 当 $a = 0$ 时，求通项 $a_{n}$； (2) 是否存在 $a$ 使数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由.

\begin{solution} \begin{enumerate} \item 由 可知，当 $3a_n<n^2$ 时，$x=n^2$ 是极小值点；当 $3a_n>n^2$ 时，$x=3a_n$ 是极小值点. 当 $3a_n=n^2$ 时，导函数只有二重根，函数没有极小值点. 因此在数列有定义时， 当 $a=0$ 时，依次有 $a_1=0$，$a_2=1$，$a_3=4$，$a_4=12$. 对 $n\geqslant3$，有 $4\cdot3^{n-2}>n^2$. 事实上，$n=3$ 时不等式成立；若 $n\geqslant3$，则左边每次乘以 $3$，而右边的增长倍数为 $\frac{(n+1)^2}{n^2}\leqslant\frac{16}{9}<3$，所以不等式对所有 $n\geqslant3$ 成立. 于是 $a_{n+1}=3a_n$，从而 $a_n=4\cdot3^{n-3}$，$n\geqslant3$. \item 若 $\{a_n\}$ 是等比数列，则由递推式知 $a_2>0$，$a_3>0$. 若 $a<0$，则 $\frac{a_2}{a_1}<0$，而 $\frac{a_3}{a_2}>0$，不可能等比；若 $a=0$，则第一问中的数列也不等比. 因此 $a>0$.

当 $0<a<\frac{1}{3}$ 时，$a_2=1$，$a_3=4$. 若数列等比，则公比既为 $\frac{a_2}{a_1}=\frac{1}{a}$，又为 $\frac{a_3}{a_2}=4$，所以 $a=\frac{1}{4}$. 但此时 $a_4=\max\{12,9\}=12$，而等比数列应有 $a_4=16$，矛盾. 当 $a=\frac{1}{3}$ 时，$3a_1=1^2$，$f_1'(x)=(x-1)^2$，函数没有极小值点，数列不能按题意定义.

当 $a>\frac{1}{3}$ 时，$a_2=3a$. 若数列等比，则公比为 $3$，从而必须有 $a_3=9a$. 当 $a<\frac{4}{9}$ 时，$a_3=\max\{9a,4\}=4\neq9a$，矛盾；当 $a=\frac{4}{9}$ 时，$3a_2=4=2^2$，此时 $f_2'(x)=(x-4)^2$，没有极小值点，数列不能按题意定义. 所以必要条件为 $a>\frac{4}{9}$.

反之，若 $a>\frac{4}{9}$，则 $a_2=3a$，且 $3a>1$. 又 $9a>4$. 因而 $3^1a>1^2$，$3^2a>2^2$. 对 $n\geqslant2$，若 $3^na>n^2$，则由 $3n^2-(n+1)^2=2n^2-2n-1>0$，得 $3n^2>(n+1)^2$. 又因 $3^{n+1}a>3n^2$，所以 $3^{n+1}a>(n+1)^2$. 由数学归纳法，$3^na>n^2$ 对所有 $n\geqslant1$ 成立，递推式始终取 $a_{n+1}=3a_n$. 所以 $a_n=3^{n-1}a$ 是等比数列.

综上，存在这样的 $a$，其取值范围为 \end{enumerate} \end{solution}