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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
log⁡22\log_2\sqrt{2} 的值为（ ）
A.
−2-\sqrt{2}
B.
2\sqrt{2}
C.
−12-\frac{1}{2}
D.
12\frac{1}{2}

2009 · 湖南 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★☆☆☆☆
抛物线 y2=−8xy^2 = -8x 的焦点坐标是（ ）
A.
(2,0)(2,0)
B.
(−2,0)(-2, 0)
C.
(4,0)(4,0)
D.
(−4,0)(-4,0)

2009 · 湖南 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 是等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和；已知 a2=3a_{2} = 3，a6=11a_{6} = 11，则 S7S_{7} 等于（ ）
A.
1313
B.
3535
C.
4949
D.
6363

2009 · 湖南 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★★☆☆☆
DD，EE，FF 分别是 △ABC\triangle ABC 的边 ABAB，BCBC，CACA 的中点，则（ ）
A.
AD→+BE→+CF→=0\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{BE} +\overrightarrow{CF} = 0
B.
BD→−CF→+DF→=0\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{CF} +\overrightarrow{DF} = 0
C.
AD→+CE→−CF→=0\overrightarrow{AD} +\overrightarrow{CE} -\overrightarrow{CF} = 0
D.
BD→−BE→−FC→=0\overrightarrow{BD} -\overrightarrow{BE} -\overrightarrow{FC} = 0

2009 · 湖南 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05计数原理与组合数学★★☆☆☆
某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有 1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为（ ）
A.
1414
B.
1616
C.
2020
D.
4848

2009 · 湖南 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
平面六面体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，既与 ABAB 共面也与 CC1CC_{1} 共面的棱的条数为（ ）
A.
33
B.
44
C.
55
D.
66

2009 · 湖南 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07导数及其应用★★☆☆☆
若函数 y=f(x)y = f(x) 的导函数在区间 [a,b][a, b] 上是增函数，则函数 y=f(x)y = f(x) 在区间 [a,b][a, b] 上的图象可能是 （ ）
A.
B.
C.
D.

2009 · 湖南 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08函数与初等函数★★★☆☆
设函数 y=f(x)y = f(x) 在 (−∞,+∞)(- \infty, + \infty) 内有定义. 对于给定的正数 KK，定义函数
fK(x)={f(x),f(x)⩽K,K,f(x)>K.f_{K}(x) = \begin{cases} f(x), & f(x) \leqslant K,\\ K, & f(x) > K. \end{cases}
取函数 f(x)=2−∣x∣f(x) = 2^{-|x|}. 当 K=12K = \frac{1}{2} 时，函数 fK(x)f_{K}(x) 的单调递增区间为（ ）
A.
(−∞,0)(-\infty, 0)
B.
(0,+∞)(0, +\infty)
C.
(−∞,−1)(-\infty, -1)
D.
(1,+∞)(1, +\infty)

2009 · 湖南 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09集合与逻辑基础★★☆☆☆
某班共 30 人，其中 15 人喜爱篮球运动，10 人喜爱乒乓球运动，8 人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______.

2009 · 湖南 · 文 · 第 9 题 · 填空题

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10不等式★☆☆☆☆
若 x>0x > 0，则 x+2xx + \frac{2}{x} 的最小值为______.

2009 · 湖南 · 文 · 第 10 题 · 填空题

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11计数原理与组合数学★☆☆☆☆
在 (1+x)4(1 + \sqrt{x})^4 的展开式中，xx 的系数为______. （用数字作答）

2009 · 湖南 · 文 · 第 11 题 · 填空题

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12概率与统计★★☆☆☆
一个总体为 AA，BB 两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为 10 的样本. 已知 BB 层中每个个体被抽到的概率都为 112\frac{1}{12}，则总体中的个体数为______.

2009 · 湖南 · 文 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
过双曲线 C:x2a2−y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的一个焦点作圆 x2+y2=a2x^2 + y^2 = a^2 的两条切线，切点分别为 AA，BB. 若 ∠AOB=120∘\angle AOB = 120^\circ （ OO 是坐标原点），则双曲线 CC 的离心率为______.

2009 · 湖南 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
在锐角 △ABC\triangle ABC 中，BC=1BC = 1，B=2AB = 2A，则 ACcos⁡A\frac{AC}{\cos A} 的值等于______，ACAC 的取值范围为______.

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15平面向量★★★☆☆
如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若 AD→=xAB→+yAC→\overrightarrow{AD} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AC}，则 x=‾x =\underline{\hspace{2em}}，y=‾y =\underline{\hspace{2em}}.

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16平面向量★★★☆☆
已知向量 a=(sin⁡θ,cos⁡θ−2sin⁡θ)\boldsymbol{a} = (\sin \theta, \cos \theta - 2\sin \theta)，b=(1,2)\boldsymbol{b} = (1, 2).
(1) 若 a∥b\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b}，求 tan⁡θ\tan \theta 的值； (2) 若 ∣a∣=∣b∣|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}|，0<θ<π0 < \theta < \pi，求 θ\theta 的值.

2009 · 湖南 · 文 · 第 16 题 · 解答题

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17概率与统计★★☆☆☆
为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程，民生工程和产业建设工程三类. 这三类工程所含项目的个数分别占总数的 12\frac{1}{2}，13\frac{1}{3}，16\frac{1}{6}，现在 3 名工人独立地从中任选一个项目参与建设. 求：
(1) 他们选择的项目所属类别互不相同的概率； (2) 至少有 1 人选择的项目属于民生工程的概率.

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18立体几何初步★★★☆☆
如图，在正三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，AB=4AB = 4，AA1=7AA_{1} = \sqrt{7}. 点 DD 是 BCBC 的中点，点 EE 在 ACAC 上，且 DE⊥A1EDE \perp A_{1}E.
(1) 证明：平面 A1DE⊥A_{1}DE \perp 平面 ACC1A1ACC_{1}A_{1}； (2) 求直线 ADAD 和平面 A1DEA_{1}DE 所成角的正弦值.

2009 · 湖南 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=x3+bx2+cxf(x) = x^3 + bx^2 + cx 的导函数的图象关于直线 x=2x = 2 对称.
(1) 求 bb 的值； (2) 若 f(x)f(x) 在 x=tx = t 处取得极小值，记此极小值为 g(t)g(t)，求 g(t)g(t) 的定义域和值域.

2009 · 湖南 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 CC 的中心在原点，焦点在 xx 轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为 8 的正方形 （记为 QQ）.
(1) 求椭圆 CC 的方程； (2) 设点 PP 是椭圆 CC 的左准线与 xx 轴的交点，过点 PP 的直线 ll 与椭圆 CC 相交于 MM，NN 两点. 当线段 MNMN 的中点落在正方形 QQ 内 （包括边界） 时，求直线 ll 的斜率的取值范围.

2009 · 湖南 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21数列★★★★★
对于数列 {un}\{u_n\}，若存在常数 M>0M > 0，对任意的 n∈N∗n \in \mathbf{N}^*，恒有 ∣un+1−un∣+∣un−un−1∣+⋯+∣u2−u1∣⩽M|u_{n+1} - u_n| + |u_n - u_{n-1}| + \cdots + |u_2 - u_1| \leqslant M，则称数列 {un}\{u_n\} 为 BB-数列.
(1) 首项为 1，公比为 −12-\frac{1}{2} 的等比数列是否为 BB-数列？请说明理由； (2) 设 SnS_{n} 是数列 {xn}\{x_{n}\} 的前 nn 项和. 给出下列两组论断： A 组：
① 数列 {xn}\{x_n\} 是 BB-数列； ② 数列 {xn}\{x_n\} 不是 BB-数列；
B 组： {
① 数列 {Sn}\{S_n\} 是 BB-数列； ② 数列 {Sn}\{S_n\} 不是 BB-数列.
} 请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论； (3) 若数列 {an}\{a_n\} 是 BB-数列，证明：数列 {an2}\{a_{n}^{2}\} 也是 BB-数列.

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