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01复数★☆☆☆☆
复数 z=1+iz = 1 + \mathrm{i}，z‾\overline{z} 为 zz 的共轭复数. 则 zz‾−z−1=z\overline{z} - z - 1 =（ ）
A.
−2i-2\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
i\mathrm{i}
D.
2i2\mathrm{i}

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
函数 y=2xy = 2\sqrt{x} （x⩾0x \geqslant 0）的反函数为（ ）
A.
y=x24y = \frac{x^2}{4}（x∈Rx \in \mathbf{R}）
B.
y=x24y = \frac{x^2}{4}（x⩾0x \geqslant 0）
C.
y=4x2y = 4x^{2}（x∈Rx \in \mathbf{R}）
D.
y=4x2y = 4x^{2}（x⩾0x \geqslant 0）

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03集合与逻辑基础★★☆☆☆
下面四个条件中，使 a>ba > b 成立的充分而不必要的条件是（ ）
A.
a>b+1a > b + 1
B.
a>b−1a > b - 1
C.
a2>b2a^2 > b^2
D.
a3>b3a^3 > b^3

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 为等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，若 a1=1a_{1} = 1，公差 d=2d = 2，Sk+2−Sk=24S_{k+2} - S_{k} = 24，则 k=k =（ ）
A.
88
B.
77
C.
66
D.
55

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05三角函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=cos⁡ωxf(x) = \cos \omega x （ω>0\omega > 0），将 y=f(x)y = f(x) 的图象向右平移 π3\frac{\pi}{3} 个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则 ω\omega 的最小值等于（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
33
C.
66
D.
99

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
已知直二面角 α−l−β\alpha - l - \beta，点 A∈αA \in \alpha，AC⊥lAC \perp l，CC 为垂足，B∈βB \in \beta，BD⊥lBD \perp l，DD 为垂足. 若 AB=2AB = 2，AC=BD=1AC = BD = 1，则 DD 到平面 ABCABC 的距离等于（ ）
A.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
63\frac{\sqrt{6}}{3}
D.
11

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07计数原理与组合数学★★☆☆☆
某同学有同样的画册 22 本，同样的集邮册 33 本，从中取出 44 本赠送给 44 位朋友，每位朋友 11 本，则不同的赠送方法共有（ ）
A.
44 种
B.
1010 种
C.
1818 种
D.
2020 种

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08导数及其应用★★☆☆☆
曲线 y=e−2x+1y = \mathrm{e}^{-2x} + 1 在点 (0,2)(0,2) 处的切线与直线 y=0y = 0 和 y=xy = x 围成的三角形的面积为（ ）
A.
13\frac{1}{3}
B.
12\frac{1}{2}
C.
23\frac{2}{3}
D.
11

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
设 f(x)f(x) 是周期为 22 的奇函数，当 0⩽x⩽10 \leqslant x \leqslant 1 时，f(x)=2x(1−x)f(x) = 2x(1 - x)，则 f(−52)=f\left(-\frac{5}{2}\right) =（ ）
A.
−12-\frac{1}{2}
B.
−14-\frac{1}{4}
C.
14\frac{1}{4}
D.
12\frac{1}{2}

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10解析几何★★☆☆☆
已知抛物线 C:y2=4xC: y^{2} = 4x 的焦点为 FF，直线 y=2x−4y = 2x - 4 与 CC 交于 AA，BB 两点，则 cos⁡∠AFB=\cos \angle AFB =（ ）
A.
45\frac{4}{5}
B.
35\frac{3}{5}
C.
−35-\frac{3}{5}
D.
−45-\frac{4}{5}

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11立体几何初步★★★☆☆
已知平面 α\alpha 截一球面得圆 MM，过圆心 MM 且与 α\alpha 成 60∘60^{\circ} 二面角的平面 β\beta 截该球面得圆 NN. 若该球面的半径为 44，圆 MM 的面积为 4π4\pi，则圆 NN 的面积为（ ）
A.
7π7\pi
B.
9π9\pi
C.
11π11\pi
D.
13π13\pi

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12平面向量★★★★☆
设向量 a\boldsymbol{a}，b\boldsymbol{b}，c\boldsymbol{c} 满足 ∣a∣=∣b∣=1|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = 1，a⋅b=−12\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = -\frac{1}{2}，⟨a−c,b−c⟩=60∘\langle \boldsymbol{a} - \boldsymbol{c}, \boldsymbol{b} - \boldsymbol{c} \rangle = 60^\circ，则 ∣c∣|\boldsymbol{c}| 的最大值等于（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
11

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1−x)20(1 - \sqrt{x})^{20} 的二项展开式中，xx 的系数与 x9x^9 的系数之差为______.

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14三角函数★★☆☆☆
已知 α∈(π2,π)\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)，sin⁡α=55\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{5}，则 tan⁡2α=\tan 2\alpha =______.

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15解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 分别为双曲线 C:x29−y227=1C: \frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{27} = 1 的左，右焦点，点 A∈CA \in C，点 MM 的坐标为 (2,0)(2,0)，AMAM 为 ∠F1AF2\angle F_{1}AF_{2} 的平分线. 则 ∣AF2∣=|AF_{2}| =______.

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16立体几何初步★★★☆☆
已知点 EE，FF 分别在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的棱 BB1BB_{1}，CC1CC_{1} 上，且 B1E=2EBB_{1}E = 2EB，CF=2FC1CF = 2FC_{1}，则面 AEFAEF 与面 ABCABC 所成的二面角的正切值等于______.

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 A−C=90∘A - C = 90^{\circ}，a+c=2ba + c = \sqrt{2} b，求 CC.

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18概率与统计★★★☆☆
根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 0.50.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 0.30.3. 设各车主购买保险相互独立.
(1) 求该地 11 位车主至少购买甲，乙两种保险中的 11 种的概率； (2) XX 表示该地的 100100 位车主中，甲，乙两种保险都不购买的车主数. 求 XX 的期望.

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19立体几何初步★★★☆☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，AB∥CDAB \parallel CD，BC⊥CDBC \perp CD，侧面 SABSAB 为等边三角形. AB=BC=2AB = BC = 2，CD=SD=1CD = SD = 1.
(1) 证明： SD⊥SD \perp 平面 SABSAB； (2) 求 ABAB 与平面 SBCSBC 所成角的正弦值.

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20数列★★★☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=0a_1 = 0 且 11−an+1−11−an=1\frac{1}{1 - a_{n + 1}} -\frac{1}{1 - a_n} = 1.
(1) 求 {an}\{a_{n}\} 的通项公式； (2) 设 bn=1−an+1nb_n = \frac{1 - \sqrt{a_{n+1}}}{\sqrt{n}}，记 Sn=∑k=1nbkS_n = \sum_{k=1}^{n} b_k，证明：Sn<1S_n < 1.

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21解析几何★★★★☆
已知 OO 为坐标原点，FF 为椭圆 C:x2+y22=1C: x^2 + \frac{y^2}{2} = 1 在 yy 轴正半轴上的焦点，过 FF 且斜率为 −2-\sqrt{2} 的直线 ll 与 CC 交于 AA，BB 两点，点 PP 满足 OA→+OB→+OP→=0\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OP} = 0.
(1) 证明：点 PP 在 CC 上； (2) 设点 PP 关于点 OO 的对称点为 QQ，证明： AA，PP，BB，QQ 四点在同一圆上.

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22导数及其应用★★★★★
(1) 设函数 f(x)=ln⁡(1+x)−2xx+2f(x) = \ln (1 + x) - \frac{2x}{x + 2}. 证明：当 x>0x > 0 时，f(x)>0f(x) > 0； (2) 从编号 11 到 100100 的 100100 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 2020 次. 设抽得的 2020 个号码互不相同的概率为 pp. 证明：p<(910)19<1e2p < \left(\frac{9}{10}\right)^{19} < \frac{1}{\mathrm{e}^2}.

2011 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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