根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为 $0.5$，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为 $0.3$. 设各车主购买保险相互独立.

(1) 求该地 $1$ 位车主至少购买甲，乙两种保险中的 $1$ 种的概率； (2) $X$ 表示该地的 $100$ 位车主中，甲，乙两种保险都不购买的车主数. 求 $X$ 的期望.

(1) 设函数 $f(x) = \ln (1 + x) - \frac{2x}{x + 2}$. 证明：当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$； (2) 从编号 $1$ 到 $100$ 的 $100$ 张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取 $20$ 次. 设抽得的 $20$ 个号码互不相同的概率为 $p$. 证明：$p < \left(\frac{9}{10}\right)^{19} < \frac{1}{\mathrm{e}^2}$.