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05
不等式
★☆☆☆☆
不等式
2
x
2
−
x
−
1
>
0
2x^{2} - x - 1 > 0
2
x
2
−
x
−
1
>
0
的解集是（ ）
A.
(
−
1
2
,
1
)
\left(-\frac{1}{2},1\right)
(
−
2
1
,
1
)
B.
(
1
,
+
∞
)
(1, + \infty)
(
1
,
+
∞
)
C.
(
−
∞
,
1
)
∪
(
2
,
+
∞
)
(-\infty, 1) \cup (2, +\infty)
(
−
∞
,
1
)
∪
(
2
,
+
∞
)
D.
(
−
∞
,
−
1
2
)
∪
(
1
,
+
∞
)
\left(-\infty, -\frac{1}{2}\right) \cup (1, +\infty)
(
−
∞
,
−
2
1
)
∪
(
1
,
+
∞
)
2011 · 广东 · 文 · 第 5 题 · 选择题
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06
平面向量
★★★☆☆
已知平面直角坐标系
x
O
y
xOy
x
O
y
上的区域
D
D
D
由不等式组
{
0
⩽
x
⩽
2
,
y
⩽
2
,
x
⩽
2
y
\begin{cases} 0 \leqslant x \leqslant \sqrt{2},\\ y \leqslant 2,\\ x \leqslant \sqrt{2}y \end{cases}
⎩
⎨
⎧
0
⩽
x
⩽
2
,
y
⩽
2
,
x
⩽
2
y
给定. 若
M
(
x
,
y
)
M(x, y)
M
(
x
,
y
)
为
D
D
D
上的动点，点
A
A
A
的坐标为
(
2
,
1
)
(\sqrt{2}, 1)
(
2
,
1
)
，则
z
=
O
M
→
⋅
O
A
→
z = \overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{OA}
z
=
O
M
⋅
O
A
的最大值为（ ）
A.
3
3
3
B.
4
4
4
C.
3
2
3\sqrt{2}
3
2
D.
4
2
4\sqrt{2}
4
2
2011 · 广东 · 文 · 第 6 题 · 选择题
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20
数列
★★★★☆
设
b
>
0
b > 0
b
>
0
，数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
满足
a
1
=
b
a_{1} = b
a
1
=
b
，
a
n
=
n
b
a
n
−
1
a
n
−
1
+
n
−
1
a_{n} = \frac{nba_{n - 1}}{a_{n - 1} + n - 1}
a
n
=
a
n
−
1
+
n
−
1
nb
a
n
−
1
（
n
⩾
2
n \geqslant 2
n
⩾
2
）.
(1) 求数列
{
a
n
}
\{a_{n}\}
{
a
n
}
的通项公式； (2) 证明：对于一切正整数
n
n
n
，
2
a
n
⩽
b
n
+
1
+
1
2a_{n} \leqslant b^{n+1} + 1
2
a
n
⩽
b
n
+
1
+
1
.
2011 · 广东 · 文 · 第 20 题 · 解答题
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