已知双曲线中心在原点且一个焦点为 $F(\sqrt{7}, 0)$，直线 $y = x - 1$ 与其相交于 $M$，$N$ 两点，$MN$ 中点的横坐标为 $-\frac{2}{3}$，则此双曲线的方程是（ ）

已知长方形的四个顶点 $A(0,0)$，$B(2,0)$，$C(2,1)$ 和 $D(0,1)$，一质点从 $AB$ 的中点 $P_0$ 沿与 $AB$ 的夹角 $\theta$ 的方向射到 $BC$ 上的点 $P_1$ 后，依次反射到 $CD$，$DA$ 和 $AB$ 上的点 $P_2$，$P_3$ 和 $P_4$（入射角等于反射角）. 设 $P_4$ 的坐标为 $(x_4,0)$，若 $1 < x_4 < 2$，则 $\tan \theta$ 的取值范围是（ ）

已知常数 $a > 0$，向量 $\boldsymbol{c} = (0, a)$，$\boldsymbol{i} = (1, 0)$. 经过原点 $O$ 以 $\boldsymbol{c} + \lambda \boldsymbol{i}$ 为方向向量的直线与经过定点 $A(0, a)$ 以 $\boldsymbol{i} - 2\lambda \boldsymbol{c}$ 为方向向量的直线相交于 $P$，其中 $\lambda \in \mathbf{R}$. 试问：是否存在两个定点 $E$，$F$，使得 $|PE| + |PF|$ 为定值. 若存在，求出 $E$，$F$ 的坐标；若不存在，说明理由.