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01函数与初等函数★★☆☆☆
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1982 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 填空题

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02计数原理与组合数学★★☆☆☆
(1) 求 (−1+i)20(-1+\mathrm{i})^{20} 展开式中第 1515 项的数值； (2) 求 y=cos⁡2x3y=\cos^2 \frac{x}{3} 的导数.

1982 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 解答题

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03解析几何★★☆☆☆
在平面直角坐标系内，下列方程表示什么曲线？画出它们的图形.
(1)
∣2x11−3y23634∣=0\begin{vmatrix} 2x & 1 & 1 \\ -3y & 2 & 3 \\ 6 & 3 & 4 \end{vmatrix}=0
； (2)
{x=1+cos⁡φ,y=2sin⁡φ\begin{cases} x=1+\cos \varphi,\\ y=2\sin \varphi \end{cases}
.

1982 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 解答题

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04导数及其应用★★★☆☆
已知圆锥体的底面半径为 RR，高为 HH，求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高 hh（如图）.

1982 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 解答题

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05指数函数与对数函数★★★☆☆
设 0<x<10<x<1，a>0a>0，a≠1a\neq 1，比较 ∣log⁡a(1−x)∣\left|\log_a(1-x)\right| 与 ∣log⁡a(1+x)∣\left|\log_a(1+x)\right| 的大小. （要写出比较过程）

1982 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 解答题

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06解析几何★★★★☆
如图：已知锐角 ∠AOB=2α\angle AOB=2\alpha 内有动点 PP，PM⊥OAPM\perp OA，PN⊥OBPN\perp OB，且四边形 PMONPMON 的面积等于常数 c2c^2. 今以 OO 为极点，∠AOB\angle AOB 的角平分线 OXOX 为极轴，求动点 PP 的轨迹的极坐标方程，并说明它表示什么曲线.

1982 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 解答题

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07平面向量★★★☆☆
已知空间四边形 ABCDABCD 中 AB=BCAB=BC，CD=DACD=DA，MM，NN，PP，QQ 分别是边 ABAB，BCBC，CDCD，DADA 的中点（如图）. 求证：MNPQMNPQ 是一个矩形.

1982 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 解答题

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08解析几何★★★★☆
抛物线 y2=2pxy^2=2px 的内接三角形有两边与抛物线 x2=2qyx^2=2qy 相切，证明这个三角形的第三边也与 x2=2qyx^2=2qy 相切.

1982 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 解答题

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09数列★★★★☆
已知数列 a1a_1，a2a_2，⋯\cdots，ana_n，⋯\cdots 和数列 b1b_1，b2b_2，⋯\cdots，bnb_n，⋯\cdots，其中 a1=pa_1=p，b1=qb_1=q，an=pan−1a_n=pa_{n-1}，bn=qan−1+rbn−1b_n=qa_{n-1}+rb_{n-1}（n⩾2n\geqslant 2），pp，qq，rr 是已知常数，且 q≠0q\neq 0，p>r>0p>r>0.
(1) 用 pp，qq，rr，nn 表示 bnb_n，并用数学归纳法加以证明； (2) 求 lim⁡n→∞bnan2+bn2\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}.

1982 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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