已知数列 $a_1$，$a_2$，$\cdots$，$a_n$，$\cdots$ 和数列 $b_1$，$b_2$，$\cdots$，$b_n$，$\cdots$，其中 $a_1=p$，$b_1=q$，$a_n=pa_{n-1}$，$b_n=qa_{n-1}+rb_{n-1}$（$n\geqslant 2$），$p$，$q$，$r$ 是已知常数，且 $q\neq 0$，$p>r>0$.

(1) 用 $p$，$q$，$r$，$n$ 表示 $b_n$，并用数学归纳法加以证明； (2) 求 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{b_n}{\sqrt{a_n^2+b_n^2}}$.