有两个相同的直三棱柱，高为 $\frac{2}{a}$，底面三角形的三边长分别为 $3a$，$4a$，$5a$（$a>0$）. 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 $a$ 的取值范围是______.

已知长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$M$，$N$ 分别是 $BB_{1}$ 和 $BC$ 的中点，$AB = 4$，$AD = 2$，$B_{1}D$ 与平面 $ABCD$ 所成角的大小为 $60^{\circ}$，求异面直线 $B_{1}D$ 与 $MN$ 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）