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01集合与逻辑基础★★☆☆☆
数集 X={(2n+1)π∣n∈Z}X = \{(2n + 1)\pi\mid n\in\mathbf{Z}\} 与数集 Y={(4k±1)π∣k∈Z}Y = \{(4k \pm 1)\pi\mid k\in\mathbf{Z}\} 之间的关系是（ ）
A.
X⊆YX \subseteq Y
B.
X⊇YX \supseteq Y
C.
X=YX = Y
D.
X≠YX \neq Y

1984 · 全国 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02解析几何★★☆☆☆
如果圆 x2+y2+Gx+Ey+F=0x^{2} + y^{2} + Gx + Ey + F = 0 与 xx 轴相切于原点，那么（ ）
A.
F=0F = 0，G≠0G \neq 0，E≠0E \neq 0
B.
E=0E = 0，F=0F = 0，G≠0G \neq 0
C.
G=0G = 0，F=0F = 0，E≠0E \neq 0
D.
G=0G = 0，E=0E = 0，F≠0F \neq 0

1984 · 全国 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
如果 nn 是正整数，那么 18[1−(−1)n](n2−1)\frac{1}{8}[1 - (-1)^n](n^2 - 1) 的值（ ）
A.
一定是零
B.
一定是偶数
C.
是整数但不一定是偶数
D.
不一定是整数

1984 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04指数函数与对数函数★★☆☆☆
arccos⁡(−x)\arccos (-x) 大于 arccos⁡x\arccos x 的充分条件是（ ）
A.
x∈(0,1]x \in (0,1]
B.
x∈(−1,0)x \in (-1,0)
C.
x∈[0,1]x \in [0,1]
D.
x∈[0,π2]x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right]

1984 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★★☆☆
如果 θ\theta 是第二象限角，且满足 cos⁡θ2−sin⁡θ2=1−sin⁡θ\cos \frac{\theta}{2} - \sin \frac{\theta}{2} = \sqrt{1 - \sin \theta}，那么 θ2\frac{\theta}{2}（ ）
A.
是第一象限角
B.
是第三象限角
C.
可能是第一象限角，也可能是第三象限角
D.
是第二象限角

1984 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★☆☆☆
已知圆柱的侧面展开图是边长为 22 与 44 的矩形，求圆柱的体积.

1984 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 解答题

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07函数与初等函数★★☆☆☆
函数 log⁡0.5(x2+4x+4)\log_{0.5}(x^2 + 4x + 4) 在什么区间上是增函数？

1984 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 解答题

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08三角函数★★☆☆☆
求方程 (sin⁡x+cos⁡x)2=12(\sin x + \cos x)^{2} = \frac{1}{2} 的解集.

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09计数原理与组合数学★★★☆☆
求 (∣x∣+1∣x∣−2)3\left(|x| + \frac{1}{|x|} - 2\right)^3 的展开式中的常数项.

1984 · 全国 · 理 · 第 9 题 · 解答题

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10数列★★☆☆☆
求 lim⁡n→∞1−2n3n+1\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{1 - 2^n}{3^n + 1} 的值.

1984 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 解答题

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
要排一张有 66 个歌唱节目和 44 个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）.

1984 · 全国 · 理 · 第 11 题 · 解答题

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12函数与初等函数★☆☆☆☆
设
H(x)={0,x⩽01,x>0H(x) = \begin{cases} 0, & x \leqslant 0\\ 1, & x > 0 \end{cases}
，画出函数 y=H(x−1)y = H(x - 1) 的图象.

1984 · 全国 · 理 · 第 12 题 · 解答题

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13解析几何★★☆☆☆
画出极坐标方程 (ρ−2)(θ−π4)=0(\rho - 2)\left(\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 0（ρ>0\rho > 0）的曲线.

1984 · 全国 · 理 · 第 13 题 · 解答题

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14立体几何初步★★★☆☆
已知三个平面两两相交，有三条交线. 求证：这三条交线交于一点或互相平行.

1984 · 全国 · 理 · 第 14 题 · 解答题

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15指数函数与对数函数★★★☆☆
设 cc，dd，xx 为实数，c≠0c \neq 0，xx 为未知数. 讨论方程 log⁡(cx+dx)x=−1\log_{\left(cx + \frac{d}{x}\right)} x = -1 在什么情况下有解，有解时求出它的解.

1984 · 全国 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16复数★★★☆☆
设 p≠0p \neq 0，实系数一元二次方程 z2−2pz+q=0z^2 - 2pz + q = 0 有两个虚数根 z1z_1，z2z_2. 再设 z1z_1，z2z_2 在复平面内的对应点是 Z1Z_1，Z2Z_2.
求以 Z1Z_1，Z2Z_2 为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长.

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17解析几何★★★★☆
求经过定点 M(1,2)M\left(1,2\right)，以 yy 轴为准线，离心率为 12\frac{1}{2} 的椭圆的左顶点的轨迹方程.

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18三角函数★★★★☆
在 △ABC\triangle ABC 中，∠A\angle A，∠B\angle B，∠C\angle C 所对的边分别为 aa，bb，cc，且 c=10c = 10，cos⁡Acos⁡B=ba=43\frac{\cos A}{\cos B} = \frac{b}{a} = \frac{4}{3}，PP 为 △ABC\triangle ABC 的内切圆上的动点. 求点 PP 到顶点 AA，BB，CC 的距离的平方和的最大值与最小值.

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19数列★★★★★
设 a>2a > 2，给定数列 {xn}\{x_n\}，其中 x1=ax_1 = a，xn+1=xn22(xn−1)x_{n+1} = \frac{x_n^2}{2(x_n - 1)}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）. 求证：
(1) xn>2x_n > 2，且 xn+1xn<1\frac{x_{n + 1}}{x_n} < 1（n=1n = 1，22，⋯\cdots）； (2) 如果 a⩽3a \leqslant 3，那么 xn⩽2+12n−1x_n \leqslant 2 + \frac{1}{2^{n - 1}}（n=1n = 1，22，⋯\cdots）； (3) 如果 a>3a > 3，那么当 n⩾lg⁡a3lg⁡43n \geqslant \frac{\lg \frac{a}{3}}{\lg \frac{4}{3}} 时，必有 xn+1<3x_{n + 1} < 3.

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20导数及其应用★★★★☆
如图，已知圆心为 OO，半径为 11 的圆与直线 ll 相切于点 AA，一动点 PP 自切点 AA 沿直线 ll 向右移动时，取 AC^\widehat{AC} 的长为 23AP\frac{2}{3} AP，直线 PCPC 与直线 AOAO 交于点 MM. 又知当 AP=3π4AP = \frac{3\pi}{4} 时，点 PP 的速度为 vv，求这时点 MM 的速度.

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