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03
数列
★★☆☆☆
如果
n
n
n
是正整数，那么
1
8
[
1
−
(
−
1
)
n
]
(
n
2
−
1
)
\frac{1}{8}[1 - (-1)^n](n^2 - 1)
8
1
[
1
−
(
−
1
)
n
]
(
n
2
−
1
)
的值（ ）
A.
一定是零
B.
一定是偶数
C.
是整数但不一定是偶数
D.
不一定是整数
1984 · 全国 · 理 · 第 3 题 · 选择题
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10
数列
★★☆☆☆
求
lim
n
→
∞
1
−
2
n
3
n
+
1
\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{1 - 2^n}{3^n + 1}
n
→
∞
lim
3
n
+
1
1
−
2
n
的值.
1984 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 解答题
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19
数列
★★★★★
设
a
>
2
a > 2
a
>
2
，给定数列
{
x
n
}
\{x_n\}
{
x
n
}
，其中
x
1
=
a
x_1 = a
x
1
=
a
，
x
n
+
1
=
x
n
2
2
(
x
n
−
1
)
x_{n+1} = \frac{x_n^2}{2(x_n - 1)}
x
n
+
1
=
2
(
x
n
−
1
)
x
n
2
（
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
）. 求证：
(1)
x
n
>
2
x_n > 2
x
n
>
2
，且
x
n
+
1
x
n
<
1
\frac{x_{n + 1}}{x_n} < 1
x
n
x
n
+
1
<
1
（
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
）； (2) 如果
a
⩽
3
a \leqslant 3
a
⩽
3
，那么
x
n
⩽
2
+
1
2
n
−
1
x_n \leqslant 2 + \frac{1}{2^{n - 1}}
x
n
⩽
2
+
2
n
−
1
1
（
n
=
1
n = 1
n
=
1
，
2
2
2
，
⋯
\cdots
⋯
）； (3) 如果
a
>
3
a > 3
a
>
3
，那么当
n
⩾
lg
a
3
lg
4
3
n \geqslant \frac{\lg \frac{a}{3}}{\lg \frac{4}{3}}
n
⩾
l
g
3
4
l
g
3
a
时，必有
x
n
+
1
<
3
x_{n + 1} < 3
x
n
+
1
<
3
.
1984 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 解答题
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