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01复数★☆☆☆☆
复数 −1+3i1+i=\frac{-1 + 3\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} =（ ）
A.
2+i2 + \mathrm{i}
B.
2−i2 - \mathrm{i}
C.
1+2i1 + 2\mathrm{i}
D.
1−2i1 - 2\mathrm{i}

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★★☆☆☆
已知集合 A={1,3,m}A = \{1, 3, \sqrt{m}\}，B={1,m}B = \{1, m\}，A∪B=AA \cup B = A，则 m=m =（ ）
A.
00 或 3\sqrt{3}
B.
00 或 33
C.
11 或 3\sqrt{3}
D.
11 或 33

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
椭圆的中心在原点，焦距为 44，一条准线为 x=−4x = -4，则该椭圆的方程为（ ）
A.
x216+y212=1\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{12} = 1
B.
x212+y28=1\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{8} = 1
C.
x28+y24=1\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{4} = 1
D.
x212+y24=1\frac{x^2}{12} + \frac{y^2}{4} = 1

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04立体几何初步★★★☆☆
已知正四棱柱 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=2AB = 2，CC1=22CC_{1} = 2\sqrt{2}，EE 为 CC1CC_{1} 的中点，则直线 AC1AC_{1} 到平面 BEDBED 的距离为（ ）
A.
22
B.
3\sqrt{3}
C.
2\sqrt{2}
D.
11

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05数列★★☆☆☆
已知等差数列 {an}\{a_{n}\} 前 nn 项和为 SnS_{n}. a5=5a_{5} = 5，S5=15S_{5} = 15，则数列 {1anan+1}\left\{\frac{1}{a_n a_{n+1}}\right\} 的前 100100 项和为（ ）
A.
100101\frac{100}{101}
B.
99101\frac{99}{101}
C.
99100\frac{99}{100}
D.
101100\frac{101}{100}

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06平面向量★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 中，ABAB 边的高为 CDCD，若 CB→=a\overrightarrow{CB} = \boldsymbol{a}，CA→=b\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{b}，a⋅b=0\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = 0，∣a∣=1|\boldsymbol{a}| = 1，∣b∣=2|\boldsymbol{b}| = 2，则 AD→=\overrightarrow{AD} =（ ）
A.
13a−13b\frac{1}{3}\boldsymbol{a} - \frac{1}{3}\boldsymbol{b}
B.
23a−23b\frac{2}{3}\boldsymbol{a} - \frac{2}{3}\boldsymbol{b}
C.
23a−35b\frac{2}{3}\boldsymbol{a} - \frac{3}{5}\boldsymbol{b}
D.
45a−45b\frac{4}{5}\boldsymbol{a} - \frac{4}{5}\boldsymbol{b}

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07三角函数★★★☆☆
已知 α\alpha 为第二象限角，sin⁡α+cos⁡α=33\sin \alpha + \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}，则 cos⁡2α=\cos 2\alpha =（ ）
A.
−53-\frac{\sqrt{5}}{3}
B.
−59-\frac{\sqrt{5}}{9}
C.
59\frac{\sqrt{5}}{9}
D.
53\frac{\sqrt{5}}{3}

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 为双曲线 C:x2−y2=2C: x^{2} - y^{2} = 2 的左，右焦点，点 PP 在 CC 上，∣PF1∣=2∣PF2∣|PF_{1}| = 2|PF_{2}|，则 cos⁡∠F1PF2=\cos \angle F_{1}PF_{2} =（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
35\frac{3}{5}
C.
34\frac{3}{4}
D.
45\frac{4}{5}

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知 x=ln⁡πx = \ln \pi，y=log⁡52y = \log_5 2，z=e−12z = \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}，则（ ）
A.
x<y<zx < y < z
B.
z<x<yz < x < y
C.
z<y<xz < y < x
D.
y<z<xy < z < x

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10函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 y=x3−3x+cy = x^3 - 3x + c 的图象与 xx 轴恰有两个公共点，则 c=c =（ ）
A.
−2-2 或 22
B.
−9-9 或 33
C.
−1-1 或 11
D.
−3-3 或 11

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11计数原理与组合数学★★★☆☆
将字母 aa，aa，bb，bb，cc，cc 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（ ）
A.
1212 种
B.
1818 种
C.
2424 种
D.
3636 种

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12平面向量★★★★☆
正方形 ABCDABCD 的边长为 11，点 EE 在边 ABAB 上，点 FF 在边 BCBC 上，AE=BF=37AE = BF = \frac{3}{7}，动点 PP 从 EE 出发沿直线向 FF 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点 PP 第一次碰到 EE 时，PP 与正方形的边碰撞的次数为（ ）
A.
1616
B.
1414
C.
1212
D.
1010

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x−y+1⩾0,x+y−3⩽0,x+3y−3⩾0,\begin{cases} x - y + 1 \geqslant 0,\\ x + y - 3 \leqslant 0,\\ x + 3y - 3 \geqslant 0, \end{cases}
，则 z=3x−yz = 3x - y 的最小值为______.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
当函数 y=sin⁡x−3cos⁡xy = \sin x - \sqrt{3}\cos x（0⩽x<2π0 \leqslant x < 2\pi）取得最大值时，x=x =______.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★★☆☆
若 (x+1x)n\left(x + \frac{1}{x}\right)^n 的展开式中第33项与第77项的二项式系数相等，则该展开式中 1x2\frac{1}{x^2} 的系数为______.

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16立体几何初步★★★★☆
三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60∘\angle BAA_{1} = \angle CAA_{1} = 60^{\circ}，则异面直线 AB1AB_{1} 与 BC1BC_{1} 所成角的余弦值为______.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，已知 cos⁡(A−C)+cos⁡B=1\cos (A - C) + \cos B = 1，a=2ca = 2c，求 CC.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，底面 ABCDABCD 为菱形，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AC=22AC = 2\sqrt{2}，PA=2PA = 2，EE 是 PCPC 上的一点，PE=2ECPE = 2EC.
(1) 证明： PC⊥PC \perp 平面 BEDBED； (2) 设二面角 A−PB−CA - PB - C 为 90∘90^{\circ}，求 PDPD 与平面 PBCPBC 所成角的大小.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★☆☆
乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在1010平前，一方连续发球22次后，对方再连续发球22次，依次轮换. 每次发球，胜方得11分，负方得00分. 设在甲，乙的比赛中，每次发球，发球方得11分的概率为0.60.6，各次发球的胜负结果相互独立. 甲，乙的一局比赛中，甲先发球.
(1) 求开始第44次发球时，甲，乙的比分为11比22的概率； (2) ξ\xi 表示开始第 4 次发球时乙的得分，求 ξ\xi 的期望.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★☆
设函数 f(x)=ax+cos⁡xf(x) = ax + \cos x，x∈[0,π]x \in [0, \pi]：
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 设 f(x)⩽1+sin⁡xf(x) \leqslant 1 + \sin x，求 aa 的取值范围.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
已知抛物线 C:y=(x+1)2C: y = (x + 1)^2 与圆 M:(x−1)2+(y−12)2=r2M: (x - 1)^2 + \left(y - \frac{1}{2}\right)^2 = r^2 （r>0r > 0）有一个公共点 AA，且在 AA 处两曲线的切线为同一直线 ll.
(1) 求 rr； (2) 设 mm，nn 是异于 ll 且与 CC 及 MM 都相切的两条直线，mm，nn 的交点为 DD，求 DD 到 ll 的距离.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
函数 f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. 定义数列 {xn}\{x_n\} 如下： x1=2x_1 = 2，xn+1x_{n+1} 是过两点 P(4,5)P(4,5)，Qn(xn,f(xn))Q_n(x_n, f(x_n)) 的直线 PQnPQ_n 与 xx 轴交点的横坐标.
(1) 证明： 2⩽xn<xn+1<32 \leqslant x_{n} < x_{n+1} < 3. (2) 求数列 {xn}\{x_{n}\} 的通项公式.

2012 · 全国 · 大纲卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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