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01复数★☆☆☆☆
i\mathrm{i} 是虚数单位，复数 7+i3+4i=\frac{7 + \mathrm{i}}{3 + 4\mathrm{i}} =（ ）
A.
1−i1 - \mathrm{i}
B.
−1+i-1 + \mathrm{i}
C.
1725+3125i\frac{17}{25} + \frac{31}{25}\mathrm{i}
D.
−177+257i-\frac{17}{7} + \frac{25}{7}\mathrm{i}

2014 · 天津 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02不等式★★☆☆☆
设变量 xx，yy 满足约束条件
{x+y−2⩾0,x−y−2⩽0,y⩾1,\begin{cases} x + y - 2 \geqslant 0,\\ x - y - 2 \leqslant 0,\\ y \geqslant 1, \end{cases}
则目标函数 z=x+2yz = x + 2y 的最小值为（ ）
A.
22
B.
33
C.
44
D.
55

2014 · 天津 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03数列★★☆☆☆
阅读下面的程序框图，运行相应的程序，输出的 SS 的值为（ ）
A.
1515
B.
105105
C.
245245
D.
945945

2014 · 天津 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★☆☆☆
函数 f(x)=log⁡12(x2−4)f(x) = \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4) 的单调递增区间是（ ）
A.
(0,+∞)(0, +\infty)
B.
(−∞,0)(-\infty, 0)
C.
(2,+∞)(2, +\infty)
D.
(−∞,−2)(-\infty, -2)

2014 · 天津 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10l: y = 2x + 10，双曲线的一个焦点在直线 ll 上，则双曲线的方程为（ ）
A.
x25−y220=1\frac{x^2}{5} - \frac{y^2}{20} = 1
B.
x220−y25=1\frac{x^2}{20} - \frac{y^2}{5} = 1
C.
3x225−3y2100=1\frac{3x^2}{25} - \frac{3y^2}{100} = 1
D.
3x2100−3y225=1\frac{3x^2}{100} - \frac{3y^2}{25} = 1

2014 · 天津 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★★☆☆
如图，△ABC\triangle ABC 是圆的内接三角形，∠BAC\angle BAC 的平分线交圆于点 DD，交 BCBC 于 EE，过点 BB 的圆的切线与 ADAD 的延长线交于点 FF，在上述条件下，给出下列四个结论：
① BDBD 平分 ∠CBF\angle CBF； ② FB2=FD⋅FAFB^{2} = FD \cdot FA； ③ AE⋅CE=BE⋅DEAE \cdot CE = BE \cdot DE； ④ AF⋅BD=AB⋅BFAF \cdot BD = AB \cdot BF.
则所有正确结论的序号是（ ）
A.
①②
B.
③④
C.
①②③
D.
①②④

2014 · 天津 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07集合与逻辑基础★★★☆☆
设 aa，b∈Rb\in\mathbf{R}，则“a>ba > b”是“a∣a∣>b∣b∣a|a| > b|b|”的（ ）
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2014 · 天津 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08平面向量★★★★☆
已知菱形 ABCDABCD 的边长为 22，∠BAD=120∘\angle BAD = 120^{\circ}，点 EE，FF 分别在边 BCBC，DCDC 上，BE→=λBC→\overrightarrow{BE} = \lambda\overrightarrow{BC}，DF→=μDC→\overrightarrow{DF} = \mu\overrightarrow{DC}，若 AE→⋅AF→=1\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} = 1，CE→⋅CF→=−23\overrightarrow{CE} \cdot \overrightarrow{CF} = -\frac{2}{3}，则 λ+μ=\lambda + \mu =（ ）
A.
12\frac{1}{2}
B.
23\frac{2}{3}
C.
56\frac{5}{6}
D.
712\frac{7}{12}

2014 · 天津 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★☆☆☆☆
某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300300 的样本进行调查. 已知该校一年级，二年级，三年级，四年级的本科生人数之比为 4:5:5:64:5:5:6，则应从一年级本科生中抽取______ 名学生.

2014 · 天津 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10立体几何初步★★☆☆☆
已知一个几何体的三视图如图所示（单位：m\mathrm{m}），则该几何体的体积为______m3\mathrm{m}^{3}.

2014 · 天津 · 理 · 第 10 题 · 填空题

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11数列★★☆☆☆
设 {an}\{a_{n}\} 是首项为 a1a_{1}，公差为 −1-1 的等差数列，SnS_{n} 为其前 nn 项和. 若 S1S_{1}，S2S_{2}，S4S_{4} 成等比数列，则 a1a_{1} 的值为______.

2014 · 天津 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，内角 AA，BB，CC 所对的边分别是 aa，bb，cc，已知 b−c=14ab - c = \frac{1}{4}a，2sin⁡B=3sin⁡C2\sin B = 3\sin C，则 cos⁡A\cos A 的值为______.

2014 · 天津 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★★☆☆
在以 OO 为极点的极坐标系中，圆 ρ=4sin⁡θ\rho = 4 \sin \theta 和直线 ρsin⁡θ=a\rho \sin \theta = a 相交于 AA，BB 两点. 若 △AOB\triangle AOB 是等边三角形，则 aa 的值为______.

2014 · 天津 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14函数与初等函数★★★★☆
已知函数 f(x)=∣x2+3x∣f(x) = |x^2 + 3x|，x∈Rx \in \mathbf{R}. 若方程 f(x)−a∣x−1∣=0f(x) - a|x - 1| = 0 恰有 4 个互异的实数根，则实数 aa 的取值范围为______.

2014 · 天津 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15三角函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=cos⁡x⋅sin⁡(x+π3)−3cos⁡2x+34f(x) = \cos x \cdot \sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) - \sqrt{3}\cos^2 x + \frac{\sqrt{3}}{4}，x∈Rx \in \mathbf{R}.
(1) 求 f(x)f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x)f(x) 在闭区间 [−π4,π4]\left[-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4}\right] 上的最大值和最小值.

2014 · 天津 · 理 · 第 15 题 · 解答题

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16概率与统计★★★☆☆
某大学志愿者协会有 66 名男同学，44 名女同学. 在这 1010 名同学中，33 名同学来自数学学院，其余 77 名同学来自物理，化学等其他互不相同的七个学院. 现从这 1010 名同学中随机选取 33 名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）.
(1) 求选出的 33 名同学是来自互不相同学院的概率； (2) 设 XX 为选出的 33 名同学中女同学的人数，求随机变量 XX 的分布列和数学期望.

2014 · 天津 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17立体几何初步★★★☆☆
如图，在四棱锥 P−ABCDP - ABCD 中，PA⊥PA \perp 底面 ABCDABCD，AD⊥ABAD \perp AB，AB∥DCAB \parallel DC，AD=DC=AP=2AD = DC = AP = 2，AB=1AB = 1，点 EE 为棱 PCPC 的中点.
(1) 证明：BE⊥DCBE \perp DC； (2) 求直线 BEBE 与平面 PBDPBD 所成角的正弦值； (3) 若 FF 为棱 PCPC 上一点，满足 BF⊥ACBF \perp AC，求二面角 F−AB−PF - AB - P 的余弦值.

2014 · 天津 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18解析几何★★★★☆
设椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a>b>0a>b>0）的左、右焦点分别为 F1F_1，F2F_2，右顶点为 AA，上顶点为 BB，已知 ∣AB∣=32∣F1F2∣|AB|=\frac{\sqrt3}{2}|F_1F_2|.
(1) 求椭圆的离心率； (2) 设 PP 为椭圆上异于其顶点的一点，以线段 PBPB 为直径的圆经过点 F1F_1，经过原点 OO 的直线 ll 与该圆相切. 求直线 ll 的斜率.

2014 · 天津 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19集合与逻辑基础★★★★☆
已知 qq 和 nn 均为给定的大于 11 的自然数. 设集合 M={0,1,2,…,q−1}M = \{0, 1, 2, \dots, q - 1\}，集合 A={x∣x=x1+x2q+⋯+xnqn−1,xi∈M,i=1,2,…,n}A = \{x \mid x = x_1 + x_2q + \dots + x_nq^{n-1}, x_i \in M, i = 1, 2, \dots, n\}.
(1) 当 q=2q = 2，n=3n = 3 时，用列举法表示集合 AA； (2) 设 ss，t∈At \in A，s=a1+a2q+⋯+anqn−1s = a_1 + a_2q + \cdots + a_nq^{n-1}，t=b1+b2q+⋯+bnqn−1t = b_1 + b_2q + \cdots + b_nq^{n-1}，其中 aia_i，bi∈Mb_i \in M，i=1i = 1，22，⋯\cdots，nn. 证明：若 an<bna_n < b_n，则 s<ts < t.

2014 · 天津 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★★★
已知函数 f(x)=x−aexf(x)=x-a\mathrm{e}^{x}（a∈Ra\in\mathbf{R}，x∈Rx\in\mathbf{R}），已知函数 y=f(x)y=f(x) 有两个零点 x1x_1，x2x_2，且 x1<x2x_1<x_2.
(1) 求 aa 的取值范围； (2) 证明 x2x1\frac{x_2}{x_1} 随着 aa 的减小而增大； (3) 证明 x1+x2x_1+x_2 随着 aa 的减小而增大.

2014 · 天津 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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