已知函数 $f(x)=x-a\mathrm{e}^{x}$（$a\in\mathbf{R}$，$x\in\mathbf{R}$），已知函数 $y=f(x)$ 有两个零点 $x_1$，$x_2$，且 $x_1<x_2$.

(1) 求 $a$ 的取值范围； (2) 证明 $\frac{x_2}{x_1}$ 随着 $a$ 的减小而增大； (3) 证明 $x_1+x_2$ 随着 $a$ 的减小而增大.