已知一个几何体的三视图如图所示（单位：$\mathrm{m}$），则该几何体的体积为______$\mathrm{m}^{3}$.

如图，在四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$AD \perp AB$，$AB \parallel DC$，$AD = DC = AP = 2$，$AB = 1$，点 $E$ 为棱 $PC$ 的中点.

(1) 证明：$BE \perp DC$； (2) 求直线 $BE$ 与平面 $PBD$ 所成角的正弦值； (3) 若 $F$ 为棱 $PC$ 上一点，满足 $BF \perp AC$，求二面角 $F - AB - P$ 的余弦值.