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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 M={x∣x2−x<0}M = \{x \mid x^2 - x < 0\}，N={x∣∣x∣<2}N = \{x \mid |x| < 2\}，则（ ）
A.
M∩N=∅M \cap N = \varnothing
B.
M∩N=MM \cap N = M
C.
M∪N=MM \cup N = M
D.
M∪N=RM \cup N = \mathbf{R}

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
已知函数 y=exy = \mathrm{e}^x 的图象与函数 y=f(x)y = f(x) 的图象关于直线 y=xy = x 对称，则（ ）
A.
f(2x)=e2xf(2x) = \mathrm{e}^{2x}（x∈Rx \in \mathbf{R}）
B.
f(2x)=ln⁡2⋅ln⁡xf(2x) = \ln 2\cdot\ln x（x>0x > 0）
C.
f(2x)=2exf(2x) = 2\mathrm{e}^x（x∈Rx \in \mathbf{R}）
D.
f(2x)=ln⁡x+ln⁡2f(2x) = \ln x + \ln 2（x>0x > 0）

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
双曲线 mx2+y2=1mx^2 + y^2 = 1 的虚轴长是实轴长的 22 倍，则 m=m=（ ）
A.
−14-\frac{1}{4}
B.
−4-4
C.
44
D.
14\frac{1}{4}

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★☆☆☆☆
如果复数 (m2+i)(1+mi)(m^2 + \mathrm{i})(1 + m\mathrm{i}) 是实数，则实数 m=m=（ ）
A.
11
B.
−1-1
C.
2\sqrt{2}
D.
−2-\sqrt{2}

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
函数 f(x)=tan⁡(x+π4)f(x)=\tan\left(x+\frac{\pi}{4}\right) 的单调增区间为（ ）
A.
(kπ−π2,kπ+π2)\left(k\pi-\frac{\pi}{2},k\pi+\frac{\pi}{2}\right)（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
B.
(kπ,(k+1)π)(k\pi,(k+1)\pi)（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
C.
(kπ−3π4,kπ+π4)\left(k\pi-\frac{3\pi}{4},k\pi+\frac{\pi}{4}\right)（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
D.
(kπ−π4,kπ+3π4)\left(k\pi-\frac{\pi}{4},k\pi+\frac{3\pi}{4}\right)（k∈Zk\in\mathbf{Z}）

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 若 aa，bb，cc 成等比数列，且 c=2ac=2a，则 cos⁡B=\cos B=（ ）
A.
14\frac14
B.
34\frac34
C.
24\frac{\sqrt2}{4}
D.
23\frac{\sqrt2}{3}

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为 44，体积为 1616，则这个球的表面积是（ ）
A.
16π16\pi
B.
20π20\pi
C.
24π24\pi
D.
32π32\pi

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
抛物线 y=−x2y=-x^2 上的点到直线 4x+3y−8=04x+3y-8=0 距离的最小值是（ ）
A.
43\frac43
B.
75\frac75
C.
85\frac85
D.
33

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09平面向量★★★☆☆
设平面向量 a1\boldsymbol{a}_1，a2\boldsymbol{a}_2，a3\boldsymbol{a}_3 的和为 a1+a2+a3=0\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3=0. 如果向量 b1\boldsymbol{b}_1，b2\boldsymbol{b}_2，b3\boldsymbol{b}_3 满足 ∣bi∣=2∣ai∣|\boldsymbol{b}_i|=2|\boldsymbol{a}_i|，且 ai\boldsymbol{a}_i 顺时针旋转 30∘30^{\circ} 后与 bi\boldsymbol{b}_i 同向，其中 i=1i=1，22，33，则（ ）
A.
−b1+b2+b3=0-\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2+\boldsymbol{b}_3=0
B.
b1−b2+b3=0\boldsymbol{b}_1-\boldsymbol{b}_2+\boldsymbol{b}_3=0
C.
b1+b2−b3=0\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2-\boldsymbol{b}_3=0
D.
b1+b2+b3=0\boldsymbol{b}_1+\boldsymbol{b}_2+\boldsymbol{b}_3=0

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10数列★★☆☆☆
设 ana_n 是公差为正数的等差数列，若 a1+a2+a3=15a_1+a_2+a_3=15，a1a2a3=80a_1a_2a_3=80，则 a11+a12+a13=a_{11}+a_{12}+a_{13}=（ ）
A.
120120
B.
105105
C.
9090
D.
7575

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11计数原理与组合数学★★★★☆
用长度分别为 22，33，44，55，66（单位：cm\mathrm{cm}）的 55 根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为（ ）
A.
85 cm28\sqrt5\mathrm{~cm}^{2}
B.
610 cm26\sqrt{10}\mathrm{~cm}^{2}
C.
355 cm23\sqrt{55}\mathrm{~cm}^{2}
D.
20 cm220\mathrm{~cm}^{2}

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 11 题 · 选择题

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12集合与逻辑基础★★★☆☆
设集合 I={1,2,3,4,5}I=\{1,2,3,4,5\}. 选择 II 的两个非空子集 AA 和 BB，要使 BB 中最小的数大于 AA 中最大的数，则不同的选择方法共有（ ）
A.
5050 种
B.
4949 种
C.
4848 种
D.
4747 种

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 12 题 · 选择题

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13立体几何初步★★☆☆☆
已知正四棱锥的体积为 1212，底面对角线长为 262\sqrt6，则侧面与底面所成的二面角等于______.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
设 z=2y−xz=2y-x，式中变量 xx，yy 满足下列条件：
{2x−y⩾−1,3x+2y⩽23,y⩾1.\begin{cases} 2x-y\geqslant-1,\\ 3x+2y\leqslant23,\\ y\geqslant1. \end{cases}
则 zz 的最大值为______.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15计数原理与组合数学★★☆☆☆
安排 77 位工作人员在 55 月 1 日至 55 月 7 日值班，每人值班一天，其中甲，乙二人都不安排在 5 月 1 日和 2 日，不同的安排方法共有______种. （用数字作答）

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16三角函数★★★☆☆
函数 f(x)=cos⁡(3x+φ)f(x)=\cos(\sqrt3x+\varphi)（0<φ<π0<\varphi<\pi）. 若 f(x)+f′(x)f(x)+f'(x) 是奇函数，则 φ=\varphi=______.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★☆☆☆
△ABC\triangle ABC 的三个内角为 AA，BB，CC，求当 AA 为何值时，cos⁡A+2cos⁡B+C2\cos A+2\cos\frac{B+C}{2} 取得最大值，并求出这个最大值.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
A，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由 44 只小白鼠组成，其中 22 只服用 A，另 22 只服用 B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 23\frac23，服用 B 有效的概率为 12\frac12.
(1) 求一个试验组为甲类组的概率. (2) 观察 33 个试验组，用 ξ\xi 表示这 33 个试验组中甲类组的个数，求 ξ\xi 的分布列和数学期望.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，l1l_1，l2l_2 是互相垂直的异面直线，MNMN 是它们的公垂线段. 点 AA，BB 在 l1l_1 上，CC 在 l2l_2 上，AM=MB=MNAM=MB=MN.
(1) 证明：AC⊥NBAC\perp NB. (2) 若 ∠ACB=60∘\angle ACB=60^{\circ}，求 NBNB 与平面 ABCABC 所成角的余弦值.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
在平面直角坐标系 xOyxOy 中，有一个以 F1(0,−3)F_1(0,-\sqrt3) 和 F2(0,3)F_2(0,\sqrt3) 为焦点，离心率为 32\frac{\sqrt3}{2} 的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线 CC，动点 PP 在 CC 上，CC 在点 PP 处的切线与 xx，yy 轴的交点分别为 AA，BB，且向量 OM→=OA→+OB→\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}. 求：
(1) 点 MM 的轨迹方程. (2) ∣OM→∣|\overrightarrow{OM}| 的最小值.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=1+x1−xe−axf(x)=\frac{1+x}{1-x}\mathrm{e}^{-ax}.
(1) 设 a>0a>0，讨论 y=f(x)y=f(x) 的单调性. (2) 若对任意 x∈(0,1)x\in(0,1) 恒有 f(x)>1f(x)>1，求 aa 的取值范围.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★☆
设数列 ana_n 的前 nn 项的和 Sn=43an−13×2n+1+23S_n=\frac43a_n-\frac13\times2^{n+1}+\frac23，n=1n=1，22，33，…\ldots.
(1) 求首项 a1a_1 与通项 ana_n. (2) 设 Tn=2nSnT_n=\frac{2^n}{S_n}，n=1n=1，22，33，…\ldots，证明：∑i=1nTi<32\sum_{i=1}^nT_i<\frac32.

2006 · 全国 · 一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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