A，B 是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验. 每个试验组由 $4$ 只小白鼠组成，其中 $2$ 只服用 A，另 $2$ 只服用 B，然后观察疗效. 若在一个试验组中，服用 A 有效的小白鼠的只数比服用 B 有效的多，就称该试验组为甲类组. 设每只小白鼠服用 A 有效的概率为 $\frac23$，服用 B 有效的概率为 $\frac12$.

(1) 求一个试验组为甲类组的概率. (2) 观察 $3$ 个试验组，用 $\xi$ 表示这 $3$ 个试验组中甲类组的个数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望.