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07解析几何★★★☆☆
如果直线 y=ax+2y=ax+2 与直线 y=3x−by=3x-b 关于直线 y=xy=x 对称，那么（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 关于直线 y=xy=x 的对称变换交换点的两个坐标. 设第一条直线上的点 (x,y)(x,y) 变为 (X,Y)=(y,x)(X,Y)=(y,x)，则 X=aY+2X=aY+2，即 Y=1aX−2aY=\frac{1}{a}X-\frac{2}{a}. 该直线与 Y=3X−bY=3X-b 重合，因此 1a=3\frac{1}{a}=3，且 −2a=−b-\frac{2}{a}=-b，解得 a=13a=\frac{1}{3}，b=6b=6，故选 A. \end{solution}
A.
a=13a=\frac{1}{3}，b=6b=6
B.
a=13a=\frac{1}{3}，b=−6b=-6
C.
a=3a=3，b=−2b=-2
D.
a=3a=3，b=6b=6

1990 · 全国 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★★☆☆
极坐标方程 4ρsin⁡2θ2=54\rho\sin^2\frac{\theta}{2}=5 表示的曲线是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 由 sin⁡2θ2=1−cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2}=\frac{1-\cos\theta}{2}，原方程化为 2ρ(1−cos⁡θ)=52\rho(1-\cos\theta)=5，即 ρ(1−cos⁡θ)=52\rho(1-\cos\theta)=\frac{5}{2}. 由于 x=ρcos⁡θx=\rho\cos\theta，所以 ρ−x=52\rho-x=\frac{5}{2}，即 ρ=x+52\rho=x+\frac{5}{2}. 这里 ρ\rho 是点到原点的距离，而 x+52x+\frac{5}{2} 是点到直线 x=−52x=-\frac{5}{2} 的距离，因此该曲线是以原点为焦点、以 x=−52x=-\frac{5}{2} 为准线的抛物线，故选 D. \end{solution}
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线的一支
D.
抛物线

1990 · 全国 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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10解析几何★★★☆☆
如果实数 xx，yy 满足等式 (x−2)2+y2=3(x-2)^2+y^2=3，那么 yx\frac{y}{x} 的最大值是（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 圆的横坐标范围为 [2−3,2+3][2-\sqrt{3},2+\sqrt{3}]，且 2−3>02-\sqrt{3}>0，所以圆上任一点的 xx 坐标均为正. 令 m=yxm=\frac{y}{x}，即 y=mxy=mx，代入 (x−2)2+y2=3(x-2)^2+y^2=3 得 (1+m2)x2−4x+1=0(1+m^2)x^2-4x+1=0. 要使 xx 为实数，必须有判别式 16−4(1+m2)⩾016-4(1+m^2)\geqslant0，从而 m2⩽3m^2\leqslant3，所以 m⩽3m\leqslant\sqrt{3}. 当 m=3m=\sqrt{3} 时判别式为零，取 x=12x=\frac{1}{2}，y=32y=\frac{\sqrt{3}}{2} 即满足圆的方程，故最大值为 3\sqrt{3}，选 D. \end{solution}
A.
12\frac{1}{2}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
D.
3\sqrt{3}

1990 · 全国 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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16解析几何★★☆☆☆
双曲线 y216−x29=1\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{9}=1 的准线方程是______.

1990 · 全国 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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25解析几何★★★★☆
设椭圆的中心是坐标原点，长轴在 xx 轴上，离心率 e=32e=\frac{\sqrt{3}}{2}，已知点 P(0,32)P\left( 0,\frac{3}{2} \right) 到这个椭圆上的点的最远距离是 7\sqrt{7}. 求这个椭圆的方程，并求椭圆上到点 PP 的距离等于 7\sqrt{7} 的点的坐标.

1990 · 全国 · 理 · 第 25 题 · 解答题

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