方程 $2^{\log_3 x}=\frac{1}{4}$ 的解是（ ）

\begin{answer} A \end{answer}

\begin{solution} 因 $2^t$ 在 $\mathbf{R}$ 上严格递增，令 $t=\log_3 x$，由 $2^t=\frac{1}{4}=2^{-2}$ 得 $t=-2$，所以 $\log_3 x=-2$，从而 $x=3^{-2}=\frac{1}{9}$. 该值满足 $x>0$，故选 A. \end{solution}

$f(x)=\lg \frac{1+2^x+\cdots+(n-1)^x+n^xa}{n}$，其中 $a$ 是实数，$n$ 是任意自然数且 $n\geqslant 2$.

(1) 如果 $f(x)$ 当 $x\in(-\infty,1]$ 时有意义，求 $a$ 的取值范围； (2) 如果 $a\in(0,1]$，证明：$2f(x)<f(2x)$ 当 $x\neq 0$ 时成立.