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04三角函数★★☆☆☆
方程 sin⁡2x=sin⁡x\sin 2x=\sin x 在区间 (0,2π)(0,2\pi) 内的解个数是（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 方程可化为 sin⁡2x−sin⁡x=0\sin 2x-\sin x=0，即 sin⁡x(2cos⁡x−1)=0\sin x(2\cos x-1)=0. 在区间 (0,2π)(0,2\pi) 内，sin⁡x=0\sin x=0 给出 x=πx=\pi，而 cos⁡x=12\cos x=\frac{1}{2} 给出 x=π3x=\frac{\pi}{3}，5π3\frac{5\pi}{3}. 这三个解互不相同，所以解的个数为 33，故选 C. \end{solution}
A.
11
B.
22
C.
33
D.
44

1990 · 全国 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
如图是函数 y=2sin⁡(ωx+φ)y=2\sin\left( \omega x+\varphi \right)（∣φ∣<π2\left| \varphi \right|<\frac{\pi}{2}）的图象，那么（ ）
\begin{answer} C \end{answer}
\begin{solution} 由图象在 x=0x=0 处的函数值为 11，得 2sin⁡φ=12\sin\varphi=1. 结合 ∣φ∣<π2\lvert\varphi\rvert<\frac{\pi}{2}，可知 φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}. 图象还显示在 x=11π12x=\frac{11\pi}{12} 处曲线由下向上经过 xx 轴，所以此时相位为 2π2\pi，从而 ω11π12+π6=2π\omega\frac{11\pi}{12}+\frac{\pi}{6}=2\pi，解得 ω=2\omega=2. 因此选 C. \end{solution}
A.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}，φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}
B.
ω=1011\omega=\frac{10}{11}，φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}
C.
ω=2\omega=2，φ=π6\varphi=\frac{\pi}{6}
D.
ω=2\omega=2，φ=−π6\varphi=-\frac{\pi}{6}

1990 · 全国 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06三角函数★★☆☆☆
函数 y=sin⁡x∣sin⁡x∣+∣cos⁡x∣cos⁡x+tan⁡x∣tan⁡x∣+∣cot⁡x∣cot⁡xy=\frac{\sin x}{\left| \sin x \right|}+\frac{\left| \cos x \right|}{\cos x}+\frac{\tan x}{\left| \tan x \right|}+\frac{\left| \cot x \right|}{\cot x} 的值域是（ ）
\begin{answer} B \end{answer}
\begin{solution} 定义域要求 sin⁡x≠0\sin x\neq0 且 cos⁡x≠0\cos x\neq0. 记 s=sin⁡x∣sin⁡x∣s=\frac{\sin x}{\lvert\sin x\rvert}，c=∣cos⁡x∣cos⁡xc=\frac{\lvert\cos x\rvert}{\cos x}，则 ss，c∈{1,−1}c\in\{1,-1\}，且 tan⁡x∣tan⁡x∣=sc\frac{\tan x}{\lvert\tan x\rvert}=sc，∣cot⁡x∣cot⁡x=sc\frac{\lvert\cot x\rvert}{\cot x}=sc. 所以函数值为 s+c+2scs+c+2sc. 在第一、二、三、四象限中，(s,c)(s,c) 分别为 (1,1)(1,1)、(1,−1)(1,-1)、(−1,−1)(-1,-1)、(−1,1)(-1,1)，对应函数值分别为 44、−2-2、00、−2-2. 因此值域为 {−2,0,4}\{-2,0,4\}，故选 B. \end{solution}
A.
{−2,4}\{-2,4\}
B.
{−2,0,4}\{-2,0,4\}
C.
{−2,0,2,4}\{-2,0,2,4\}
D.
{−4,−2,0,4}\{-4,-2,0,4\}

1990 · 全国 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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19三角函数★★★☆☆
函数 y=sin⁡xcos⁡x+sin⁡x+cos⁡xy=\sin x\cos x+\sin x+\cos x 的最大值是______.

1990 · 全国 · 理 · 第 19 题 · 填空题

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22三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡α+sin⁡β=14\sin \alpha+\sin \beta=\frac{1}{4}，cos⁡α+cos⁡β=13\cos \alpha+\cos \beta=\frac{1}{3}，求 tan⁡(α+β)\tan(\alpha+\beta) 的值.

1990 · 全国 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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