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01不等式★☆☆☆☆
不等式组
{x2−1<0,x2−3x<0\begin{cases} x^{2}-1<0,\\ x^{2}-3x<0 \end{cases}
的解集为（ ）
A.
{x∣−1<x<1}\{x\mid -1<x<1\}
B.
{x∣0<x<3}\{x\mid 0<x<3\}
C.
{x∣0<x<1}\{x\mid 0<x<1\}
D.
{x∣−1<x<3}\{x\mid -1<x<3\}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02立体几何初步★★☆☆☆
已知三条直线 mm，nn，ll，三个平面 α\alpha，β\beta，γ\gamma，下列四个命题中，正确的是（ ）
A.
{α⊥γ,β⊥γ⇒α∥β\begin{cases} \alpha\perp\gamma,\\ \beta\perp\gamma \end{cases}\Rightarrow\alpha\parallel\beta
B.
{m∥β,l⊥m⇒l⊥β\begin{cases} m\parallel\beta,\\ l\perp m \end{cases}\Rightarrow l\perp\beta
C.
{m∥γ,n∥γ⇒m∥n\begin{cases} m\parallel\gamma,\\ n\parallel\gamma \end{cases}\Rightarrow m\parallel n
D.
{m⊥γ,n⊥γ⇒m∥n\begin{cases} m\perp\gamma,\\ n\perp\gamma \end{cases}\Rightarrow m\parallel n

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
已知椭圆的焦点是 F1F_{1}，F2F_{2}，PP 是椭圆上的一个动点. 如果延长 F1PF_{1}P 到 QQ，使得 ∣PQ∣=∣PF2∣\lvert PQ\rvert=\lvert PF_{2}\rvert，那么动点 QQ 的轨迹是（ ）
A.
圆
B.
椭圆
C.
双曲线的一支
D.
抛物线

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04复数★★☆☆☆
如果 θ∈(π2,π)\theta\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)，那么复数 (1+i)(cos⁡θ+isin⁡θ)\left(1+\mathrm{i}\right)\left(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta\right) 的辐角的主值是（ ）
A.
θ+9π4\theta+\dfrac{9\pi}{4}
B.
θ+π4\theta+\dfrac{\pi}{4}
C.
θ−π4\theta-\dfrac{\pi}{4}
D.
θ+7π4\theta+\dfrac{7\pi}{4}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05三角函数★★☆☆☆
若角 α\alpha 满足条件 sin⁡2α<0\sin2\alpha<0，cos⁡α−sin⁡α<0\cos\alpha-\sin\alpha<0，则 α\alpha 在（ ）
A.
第一象限
B.
第二象限
C.
第三象限
D.
第四象限

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译，导游，导购，保洁四项不同工作. 若其中甲，乙两名志愿者都不能从事翻译工作，则选派方案共有（ ）
A.
280 种280\text{ 种}
B.
240 种240\text{ 种}
C.
180 种180\text{ 种}
D.
96 种96\text{ 种}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，AB=2AB=2，BC=1.5BC=1.5，∠ABC=120∘\angle ABC=120^{\circ}. 若使三角形绕直线 BCBC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A.
32π\dfrac{3}{2}\pi
B.
52π\dfrac{5}{2}\pi
C.
72π\dfrac{7}{2}\pi
D.
92π\dfrac{9}{2}\pi

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）
A.
x−y=0x-y=0
B.
x+y=0x+y=0
C.
∣x∣−y=0\lvert x\rvert-y=0
D.
∣x∣−∣y∣=0\lvert x\rvert-\lvert y\rvert=0

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=2sin⁡xy=2^{\sin x} 的单调区间是（ ）
A.
[2kπ−π2,2kπ+π2]\left[2k\pi-\dfrac{\pi}{2},2k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right]（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
B.
[2kπ+π2,2kπ+3π2]\left[2k\pi+\dfrac{\pi}{2},2k\pi+\dfrac{3\pi}{2}\right]（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
C.
[2kπ−π,2kπ][2k\pi-\pi,2k\pi]（k∈Zk\in\mathbf{Z}）
D.
[2kπ,2kπ+π][2k\pi,2k\pi+\pi]（k∈Zk\in\mathbf{Z}）

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 9 题 · 选择题

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1x+x2)6\left(\dfrac{1}{x}+x^{2}\right)^{6} 的展开式中，x3x^{3} 的系数和常数项依次是（ ）
A.
2020，2020
B.
1515，2020
C.
2020，1515
D.
1515，1515

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11数列★★★☆☆
若一个等差数列前 3 项的和为 34，最后 3 项的和为 146，且所有项的和为 390，则这个数列有（ ）
A.
13 项13\text{ 项}
B.
12 项12\text{ 项}
C.
11 项11\text{ 项}
D.
10 项10\text{ 项}

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 11 题 · 选择题

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12不等式★★★★☆
用一张钢板制作一个容积为 4 m34\mathrm{~m}^{3} 的无盖长方体水箱. 可用的长方形钢板有四种不同的规格（长×\times宽的尺寸如各选项所示，单位均为 m\mathrm{m}），若既要够用，又要所剩最少，则应选钢板的规格是（ ）
A.
2×52\times5
B.
2×5.52\times5.5
C.
2×6.12\times6.1
D.
3×53\times5

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 12 题 · 选择题

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13解析几何★★☆☆☆
若双曲线 x24−y2m=1\dfrac{x^{2}}{4}-\dfrac{y^{2}}{m}=1 的渐近线方程为 y=±32xy=\pm\dfrac{\sqrt{3}}{2}x，则双曲线的焦点坐标是______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
如果 cos⁡θ=−1213\cos\theta=-\dfrac{12}{13}，θ∈(π,3π2)\theta\in\left(\pi,\dfrac{3\pi}{2}\right)，那么 cos⁡(θ+π4)\cos\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right) 的值等于______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 14 题 · 填空题

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15立体几何初步★★★★☆
正方形 ABCDABCD 的边长是 2，EE，FF 分别是 ABAB 和 CDCD 的中点，将正方形沿 EFEF 折成直二面角（如图所示）. MM 为矩形 AEFDAEFD 内一点，如果 ∠MBE=∠MBC\angle MBE=\angle MBC，MBMB 和平面 BCFBCF 所成角的正切值为 12\dfrac{1}{2}，那么点 MM 到直线 EFEF 的距离为______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 15 题 · 填空题

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16复数★★☆☆☆
对于任意两个复数 z1=x1+y1iz_{1}=x_{1}+y_{1}\mathrm{i}，z2=x2+y2iz_{2}=x_{2}+y_{2}\mathrm{i}（x1x_{1}，y1y_{1}，x2x_{2}，y2y_{2} 为实数），定义运算 ⊙\odot 为：z1⊙z2=x1x2+y1y2z_{1}\odot z_{2}=x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}. 设非零复数 w1w_{1}，w2w_{2} 在复平面内对应的点分别为 P1P_{1}，P2P_{2}，点 OO 为坐标原点. 如果 w1⊙w2=0w_{1}\odot w_{2}=0，那么在 △P1OP2\triangle P_{1}OP_{2} 中，∠P1OP2\angle P_{1}OP_{2} 的大小为______.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 AA，BB，CC 成等差数列，求 tan⁡A2+tan⁡C2+3tan⁡A2tan⁡C2\tan\dfrac{A}{2}+\tan\dfrac{C}{2}+\sqrt{3}\tan\dfrac{A}{2}\tan\dfrac{C}{2} 的值.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数 f(x)f(x) 是偶函数，而且在 (0,+∞)(0,+\infty) 上是增函数，判断 f(x)f(x) 在 (−∞,0)(-\infty,0) 上是增函数还是减函数，并证明你的判断.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★☆☆
在三棱锥 S−ABCS-ABC 中，如图，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90∘\angle SAB=\angle SAC=\angle ACB=90^{\circ}，AC=2AC=2，BC=13BC=\sqrt{13}，SB=29SB=\sqrt{29}.
(1) 证明：SC⊥BCSC\perp BC； (2) 求侧面 SBCSBC 与底面 ABCABC 所成的二面角大小； (3) 求三棱锥的体积 VS−ABCV_{S-ABC}.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20函数与初等函数★★☆☆☆
假设 AA 型进口车关税税率在 20012001 年是 100%100\%，在 20062006 年是 25%25\%，20012001 年 AA 型进口车每辆价格为 64 万元64\text{ 万元}（其中含 32 万元32\text{ 万元}关税税款）.
(1) 已知与 AA 型车性能相近的 BB 型国产车，20012001 年每辆价格为 46 万元46\text{ 万元}，若 AA 型车的价格只受关税降低的影响，为了保证 20062006 年 BB 型车的价格不高于 AA 型车价格的 90%，BB 型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？ (2) 某人在 20012001 年将 33 万元33\text{ 万元}存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为 1.8%1.8\%（55 年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么五年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的 BB 型车一辆？

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★☆☆
已知某椭圆的焦点是 F1(−4,0)F_{1}(-4,0)，F2(4,0)F_{2}(4,0)，过点 F2F_{2}，并垂直于 xx 轴的直线与椭圆的一个交点为 BB，且 ∣F1B∣+∣F2B∣=10\lvert F_{1}B\rvert+\lvert F_{2}B\rvert=10. 椭圆上不同的两点 A(x1,y1)A(x_{1},y_{1})，C(x2,y2)C(x_{2},y_{2}) 满足条件：∣F2A∣\lvert F_{2}A\rvert，∣F2B∣\lvert F_{2}B\rvert，∣F2C∣\lvert F_{2}C\rvert 成等差数列.
(1) 求该椭圆的方程； (2) 求弦 ACAC 中点的横坐标.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★☆☆
已知点的序列 An(xn,0)A_{n}(x_{n},0)，n∈Nn\in\mathbf{N}，其中 x1=0x_{1}=0，x2=ax_{2}=a（a<0a<0），A3A_{3} 是线段 A1A2A_{1}A_{2} 的中点，A4A_{4} 是线段 A2A3A_{2}A_{3} 的中点，⋯\cdots，AnA_{n} 是线段 An−2An−1A_{n-2}A_{n-1} 的中点，⋯\cdots.
(1) 写出 xnx_{n} 与 xn−1x_{n-1}，xn−2x_{n-2} 之间的关系式（n⩾3n\geqslant3）； (2) 设 an=xn+1−xna_{n}=x_{n+1}-x_{n}，计算 a1a_{1}，a2a_{2}，a3a_{3}，由此推测数列 {an}\{a_{n}\} 的通项公式，并加以证明； (3) 求 lim⁡n→∞xn\displaystyle\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}.

2002 · 京蒙皖 · 春季 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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