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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
已知集合 A={x∣−1<x<2}A = \{x \mid -1 < x < 2\}，B={x∣0<x<3}B = \{x \mid 0 < x < 3\}，则 A∪B=A \cup B =（ ）
A.
(−1,3)(-1,3)
B.
(−1,0)(-1,0)
C.
(0,2)(0, 2)
D.
(2,3)(2,3)

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 1 题 · 选择题

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02复数★☆☆☆☆
若 aa 为实数，且 2+ai1+i=3+i\frac{2 + a\mathrm{i}}{1 + \mathrm{i}} = 3 + \mathrm{i}，则 a=a =（ ）
A.
−4-4
B.
−3-3
C.
3
D.
4

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 2 题 · 选择题

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03概率与统计★☆☆☆☆
根据下面给出的 20042004 年至 20132013 年我国二氧化硫年排放量（单位：万吨）柱形图，以下结论中不正确的是（ ）
A.
逐年比较，20082008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.
20072007 年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.
20062006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.
20062006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 3 题 · 选择题

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04平面向量★☆☆☆☆
已知 a=(1,−1)\boldsymbol{a} = (1, -1)，b=(−1,2)\boldsymbol{b} = (-1, 2)，则 (2a+b)⋅a=(2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{a} =（ ）
A.
−1-1
B.
0
C.
1
D.
2

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 4 题 · 选择题

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05数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 是等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和. 若 a1+a3+a5=3a_{1} + a_{3} + a_{5} = 3，则 S5=S_{5} =（ ）
A.
5
B.
7
C.
9
D.
11

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 5 题 · 选择题

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06立体几何初步★★★☆☆
一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
17\frac{1}{7}
C.
16\frac{1}{6}
D.
15\frac{1}{5}

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
已知三点 A(1,0)A(1,0)，B(0,3)B(0,\sqrt{3})，C(2,3)C(2,\sqrt{3})，则 △ABC\triangle ABC 外接圆的圆心到原点的距离为（ ）
A.
53\frac{5}{3}
B.
213\frac{\sqrt{21}}{3}
C.
253\frac{2\sqrt{5}}{3}
D.
43\frac{4}{3}

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 7 题 · 选择题

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08数列★★☆☆☆
下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. 执行该程序框图，若输入的 aa，bb 分别为 1414，1818，则输出的 a=a =（ ）
A.
0
B.
2
C.
4
D.
14

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 8 题 · 选择题

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09数列★★☆☆☆
已知等比数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=14a_{1} = \frac{1}{4}，a3a5=4(a4−1)a_{3}a_{5} = 4(a_{4} - 1)，则 a2=a_{2} =（ ）
A.
2
B.
1
C.
12\frac{1}{2}
D.
18\frac{1}{8}

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10立体几何初步★★★☆☆
已知 AA，BB 是球 OO 的球面上两点，∠AOB=90∘\angle AOB = 90^{\circ}，CC 为该球面上的动点，若三棱锥 O−ABCO-ABC 体积的最大值为 3636，则球 OO 的表面积为（ ）
A.
36π36\pi
B.
64π64\pi
C.
144π144\pi
D.
256π256\pi

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★★★★☆
如图，长方形 ABCDABCD 的边 AB=2AB = 2，BC=1BC = 1，OO 是 ABAB 的中点，点 PP 沿着边 BCBC，CDCD 与 DADA 运动，记 ∠BOP=x\angle BOP = x. 将动点 PP 到 AA，BB 两点距离之和表示为 xx 的函数 f(x)f(x)，则 y=f(x)y = f(x) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

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12函数与初等函数★★★★☆
设函数 f(x)=ln⁡(1+∣x∣)−11+x2f(x) = \ln (1 + |x|) - \frac{1}{1 + x^2}，则使得 f(x)>f(2x−1)f(x) > f(2x - 1) 成立的 xx 的取值范围是（ ）
A.
(13,1)\left(\frac{1}{3}, 1\right)
B.
(−∞,13)∪(1,+∞)\left(-\infty, \frac{1}{3}\right) \cup (1, +\infty)
C.
(−13,13)\left(-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)
D.
(−∞,−13)∪(13,+∞)\left(-\infty, -\frac{1}{3}\right) \cup \left(\frac{1}{3}, +\infty\right)

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13函数与初等函数★☆☆☆☆
已知函数 f(x)=ax3−2xf(x) = ax^3 - 2x 的图象过点 (−1,4)(-1,4)，则 a=a =______.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 13 题 · 填空题

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14不等式★★☆☆☆
若 xx，yy 满足约束条件
{x+y−5⩽0,2x−y−1⩾0,x−2y+1⩽0,\begin{cases} x + y - 5 \leqslant 0,\\ 2x - y - 1 \geqslant 0,\\ x - 2y + 1 \leqslant 0, \end{cases}
则 z=2x+yz = 2x + y 的最大值为______.

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15解析几何★★☆☆☆
已知双曲线过点 (4,3)(4, \sqrt{3})，且渐近线方程为 y=±12xy = \pm \frac{1}{2}x，则该双曲线的标准方程为______.

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16导数及其应用★★★☆☆
已知曲线 y=x+ln⁡xy = x + \ln x 在点 (1,1)(1, 1) 处的切线与曲线 y=ax2+(a+2)x+1y = ax^2 + (a + 2)x + 1 相切，则 a=a =______.

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17三角函数★★★☆☆
△ABC\triangle ABC 中，DD 是 BCBC 上的点，ADAD 平分 ∠BAC\angle BAC，BD=2DCBD = 2DC.
(1) 求 sin⁡∠Bsin⁡∠C\frac{\sin\angle B}{\sin\angle C}； (2) 若 ∠BAC=60∘\angle BAC = 60^{\circ}，求 ∠B\angle B.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
某公司为了了解用户对其产品的满意度，从 AA，BB 两地区分别随机调查了 4040 个用户，根据用户对其产品的满意度的评分，得到 AA 地区用户满意度评分的频率分布直方图和 BB 地区用户满意度评分的频率分布表.
BB 地区用户满意度评分的频率分布表
(1) 在图中作出 BB 地区用户满意度评分的频率分布直方图，并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度； (2) 根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级：
估计哪个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大，说明理由.

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19立体几何初步★★★★☆
如图，长方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，AB=16AB = 16，BC=10BC = 10，AA1=8AA_{1} = 8，点 EE，FF 分别在 A1B1A_{1}B_{1}，D1C1D_{1}C_{1} 上，A1E=D1F=4A_{1}E = D_{1}F = 4. 过点 EE，FF 的平面 α\alpha 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
(1) 在图中画出这个正方形； (2) 求平面 α\alpha 把该长方体分成的两部分体积的比值.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 19 题 · 解答题

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20解析几何★★★★☆
已知椭圆 C:x2a2+y2b2=1C: \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1（a>b>0a > b > 0） 的离心率为 22\frac{\sqrt{2}}{2}，点 (2,2)(2, \sqrt{2}) 在 CC 上.
(1) 求 CC 的方程； (2) 直线 ll 不经过原点 OO，且不平行于坐标轴，ll 与 CC 有两个交点 AA，BB，线段 ABAB 中点为 MM，证明：直线 OMOM 的斜率与直线 ll 的斜率乘积为定值.

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21导数及其应用★★★★☆
已知 f(x)=ln⁡x+a(1−x)f(x) = \ln x + a(1 - x).
(1) 讨论 f(x)f(x) 的单调性； (2) 当 f(x)f(x) 有最大值，且最大值大于 2a−22a - 2 时，求 aa 的取值范围.

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22解析几何★★★★☆
如图，OO 为等腰三角形 ABCABC 内一点，⊙O\odot O 与 △ABC\triangle ABC 的底边 BCBC 交于 MM，NN 两点，与底边上的高 ADAD 交于点 GG，且与 ABAB，ACAC 分别相切于 EE，FF 两点.
(1) 证明：EF∥BCEF \parallel BC； (2) 若 AGAG 等于 ⊙O\odot O 的半径，且 AE=MN=23AE = MN = 2\sqrt{3}，求四边形 EBCFEBCF 的面积.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 22 题 · 解答题

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23解析几何★★★★☆
在直角坐标系 xOyxOy 中，曲线
C1:{x=tcos⁡α,y=tsin⁡α,C_1: \begin{cases} x = t\cos \alpha,\\ y = t\sin \alpha, \end{cases}
（tt 为参数，t≠0t \neq 0），其中 0⩽α<π0 \leqslant \alpha < \pi. 在以 OO 为极点，xx 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2:ρ=2sin⁡θC_2: \rho = 2\sin \theta，C3:ρ=23cos⁡θC_3: \rho = 2\sqrt{3}\cos \theta.
(1) 求 C2C_2 与 C3C_3 交点的直角坐标； (2) 若 C1C_1 与 C2C_2 相交于点 AA，C1C_1 与 C3C_3 相交于点 BB，求 ∣AB∣|AB| 的最大值.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 23 题 · 解答题

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24不等式★★★☆☆
设 aa，bb，cc，dd 均为正数，且 a+b=c+da + b = c + d，证明：
(1) 若 ab>cdab > cd，则 a+b>c+d\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d}； (2) a+b>c+d\sqrt{a} + \sqrt{b} > \sqrt{c} + \sqrt{d} 是 ∣a−b∣<∣c−d∣|a - b| < |c - d| 的充要条件.

2015 · 全国 · 二卷 · 文 · 第 24 题 · 解答题

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