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01复数★☆☆☆☆
i−2\mathrm{i}-2 的共轭复数是（ ）
A.
2+i2+\mathrm{i}
B.
2−i2-\mathrm{i}
C.
−2+i-2+\mathrm{i}
D.
−2−i-2-\mathrm{i}

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02指数函数与对数函数★★☆☆☆
函数 y=∣log⁡2x∣y=|\log_2 x| 的图象是（ ）
A.
B.
C.
D.

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03立体几何初步★★☆☆☆
有如下三个命题：
① 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ② 垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③ 过平面 α\alpha 的一条斜线有一个平面与平面 α\alpha 垂直.
其中正确命题的个数为（ ）
A.
00
B.
11
C.
22
D.
33

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
如果函数 f(x)=sin⁡(πx+θ)f(x)=\sin(\pi x+\theta)（0<θ<2π0<\theta<2\pi）的最小正周期是 TT，且当 x=2x=2 时取得最大值，那么（ ）
A.
T=2T=2，θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}
B.
T=1T=1，θ=π\theta=\pi
C.
T=2T=2，θ=π\theta=\pi
D.
T=1T=1，θ=π2\theta=\dfrac{\pi}{2}

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05解析几何★★☆☆☆
设 abc≠0abc\neq0，“ac>0ac>0”是“曲线 ax2+by2=cax^2+by^2=c 为椭圆”的（ ）
A.
充分非必要条件
B.
必要非充分条件
C.
充分必要条件
D.
既非充分又非必要条件

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06解析几何★★★☆☆
已知双曲线的两个焦点为 F1(−5,0)F_1\left(-\sqrt5,0\right)，F2(5,0)F_2\left(\sqrt5,0\right)，PP 是此双曲线上的一点，且 PF1⊥PF2PF_1\perp PF_2，∣PF1∣∣PF2∣=2\left|PF_1\right|\left|PF_2\right|=2，则该双曲线的方程是（ ）
A.
x22−y23=1\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{y^2}{3}=1
B.
x23−y22=1\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{y^2}{2}=1
C.
x24−y2=1\dfrac{x^2}{4}-y^2=1
D.
x2−y24=1x^2-\dfrac{y^2}{4}=1

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07三角函数★★☆☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，已知 2sin⁡Acos⁡B=sin⁡C2\sin A\cos B=\sin C，那么 △ABC\triangle ABC 一定是（ ）
A.
直角三角形
B.
等腰三角形
C.
等腰直角三角形
D.
正三角形

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08不等式★★★★☆
若不等式 (−1)na<2+(−1)n+1n(-1)^na<2+\dfrac{(-1)^{n+1}}{n} 对于任意正整数 nn 恒成立，则实数 aa 的取值范围是（ ）
A.
[−2,32)\left[-2,\dfrac32\right)
B.
(−2,32)\left(-2,\dfrac32\right)
C.
[−3,32)\left[-3,\dfrac32\right)
D.
(−3,32)\left(-3,\dfrac32\right)

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09数列★☆☆☆☆
lim⁡n→∞n2+2n2n2−3=‾\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+2n}{2n^2-3}=\underline{\hspace{2em}}.

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 9 题 · 填空题

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10三角函数★★☆☆☆
已知 sin⁡θ2+cos⁡θ2=233\sin\dfrac{\theta}{2}+\cos\dfrac{\theta}{2}=\dfrac{2\sqrt3}{3}，那么 sin⁡θ\sin\theta 的值为______，cos⁡2θ\cos 2\theta 的值为______.

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11解析几何★★☆☆☆
若圆 x2+y2+mx−14=0x^2+y^2+mx-\dfrac14=0 与直线 y=−1y=-1 相切，且其圆心在 yy 轴的左侧，则 m=‾m=\underline{\hspace{2em}}.

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12立体几何初步★★★★☆
如图，正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_1B_1C_1D_1 的棱长为 aa，将该正方体沿对角面 BB1D1DBB_1D_1D 切成两块，再将这两块拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积为‾\underline{\hspace{2em}}.

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13计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 −1-1，00，11，22 这四个数中选三个不同的数作为函数 f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c 的系数，可组成不同的二次函数共有______个，其中不同的偶函数共有______个. （用数字作答）

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14不等式★★★☆☆
若关于 xx 的不等式 x2−ax−a>0x^2-ax-a>0 的解集为 (−∞,+∞)\left(-\infty,+\infty\right)，则实数 aa 的取值范围是______；若关于 xx 的不等式 x2−ax−a⩽−3x^2-ax-a\leqslant-3 的解集不是空集，则实数 aa 的取值范围是______.

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15函数与初等函数★★☆☆☆
设函数 f(x)=lg⁡(2x−3)f(x)=\lg(2x-3) 的定义域为集合 MM，函数 g(x)=1−2x−1g(x)=\sqrt{1-\dfrac{2}{x-1}} 的定义域为集合 NN. 求：
(1) 集合 MM，NN； (2) 集合 M∩NM\cap N，M∪NM\cup N.

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16立体几何初步★★★☆☆
如图，正三角形 ABCABC 的边长为 33，过其中心 GG 作 BCBC 边的平行线，分别交 ABAB，ACAC 于 B1B_1，C1C_1. 将 △AB1C1\triangle AB_1C_1 沿 B1C1B_1C_1 折起到 △A1B1C1\triangle A_1B_1C_1 的位置，使点 A1A_1 在平面 BB1C1CBB_1C_1C 上的射影恰是线段 BCBC 的中点 MM. 求：
(1) 二面角 A1−B1C1−MA_1-B_1C_1-M 的大小； (2) 异面直线 A1B1A_1B_1 与 CC1CC_1 所成角的大小（用反三角函数表示）.

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 16 题 · 解答题

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17数列★★★☆☆
已知 {an}\{a_n\} 是等比数列，a1=2a_1=2，a3=18a_3=18；{bn}\{b_n\} 是等差数列，b1=2b_1=2，b1+b2+b3+b4=a1+a2+a3>20b_1+b_2+b_3+b_4=a_1+a_2+a_3>20.
(1) 求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求数列 {bn}\{b_n\} 的前 nn 项和 SnS_n 的公式； (3) 设 Pn=b1+b4+b7+⋯+b3n−2P_n=b_1+b_4+b_7+\cdots+b_{3n-2}，Qn=b10+b12+b14+⋯+b2n+8Q_n=b_{10}+b_{12}+b_{14}+\cdots+b_{2n+8}，其中 n=1n=1，22，⋯\cdots，试比较 PnP_n 与 QnQ_n 的大小，并证明你的结论.

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18解析几何★★★☆☆
如图，OO 为坐标原点，直线 ll 在 xx 轴和 yy 轴上的截距分别是 aa 和 bb，且交抛物线 y2=2pxy^2=2px（p>0p>0）于 M(x1,y1)M\left(x_1,y_1\right)，N(x2,y2)N\left(x_2,y_2\right) 两点.
(1) 写出直线 ll 的截距式方程； (2) 证明：1y1+1y2=1b\dfrac{1}{y_1}+\dfrac{1}{y_2}=\dfrac{1}{b}； (3) 当 a=2pa=2p 时，求 ∠MON\angle MON 的大小.

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19导数及其应用★★★☆☆
经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 yy（千辆/小时\text{千辆/小时}）与汽车的平均速度 vv（千米/小时\text{千米/小时}）之间的函数关系为： y=920vv2+3v+1600y=\frac{920v}{v^2+3v+1600}（v>0v>0）.
(1) 在该时段内，当汽车的平均速度 vv 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到 0.1 千辆/小时0.1\text{ 千辆/小时}） (2) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆/小时10\text{ 千辆/小时}，则汽车的平均速度应在什么范围内？

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20函数与初等函数★★★★★
现有一组互不相同且从小到大排列的数据：a0a_0，a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5，其中 a0=0a_0=0. 为提取反映数据间差异程度的某种指标，今对其进行如下加工：记 T=a0+a1+⋯+a5T=a_0+a_1+\cdots+a_5，xn=n5x_n=\frac n5，yn=1T(a0+a1+⋯+an)y_n=\frac1T\left(a_0+a_1+\cdots+a_n\right)，作函数 y=f(x)y=f(x)，使其图象为逐点依次连接点 Pn(xn,yn)P_n\left(x_n,y_n\right)（n=0n=0，11，22，…\ldots，55）的折线.
(1) 求 f(0)f(0) 和 f(1)f(1) 的值； (2) 设 Pn−1PnP_{n-1}P_n 的斜率为 knk_n（n=1n=1，22，33，44，55），判断 k1k_1，k2k_2，k3k_3，k4k_4，k5k_5 的大小关系； (3) 证明：当 x∈(0,1)x\in\left(0,1\right) 时，f(x)<xf(x)<x； (4) 求由函数 y=xy=x 与 y=f(x)y=f(x) 的图象所围成图形的面积（用 a1a_1，a2a_2，a3a_3，a4a_4，a5a_5 表示）.

2005 · 北京 · 春季 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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