$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+2n}{2n^2-3}=\underline{\hspace{2em}}$.

已知 $\{a_n\}$ 是等比数列，$a_1=2$，$a_3=18$；$\{b_n\}$ 是等差数列，$b_1=2$，$b_1+b_2+b_3+b_4=a_1+a_2+a_3>20$.

(1) 求数列 $\{b_n\}$ 的通项公式； (2) 求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$ 的公式； (3) 设 $P_n=b_1+b_4+b_7+\cdots+b_{3n-2}$，$Q_n=b_{10}+b_{12}+b_{14}+\cdots+b_{2n+8}$，其中 $n=1$，$2$，$\cdots$，试比较 $P_n$ 与 $Q_n$ 的大小，并证明你的结论.