在锐角三角形 $ABC$ 中，$\tan A = \frac{1}{2}$，$D$ 为边 $BC$ 上的点，$\triangle ABD$ 与 $\triangle ACD$ 的面积分别为 2 和 4. 过 $D$ 作 $DE \perp AB$ 于 $E$，$DF \perp AC$ 于 $F$，则 $\overrightarrow{DE} \cdot \overrightarrow{DF} =$______.

已知点 $A$ 的坐标为 $(4\sqrt{3}, 1)$，将 $OA$ 绕坐标原点 $O$ 逆时针旋转 $\frac{\pi}{3}$ 至 $OB$，则点 $B$ 的纵坐标为（ ）