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共找到 22 题
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01集合与逻辑基础★☆☆☆☆
若集合 A={−1,1}A = \{-1, 1\}，B={0,2}B = \{0, 2\}，则集合 {z∣z=x+y,x∈A,y∈B}\{z \mid z = x + y, x \in A, y \in B\} 中的元素个数为（ ）
A.
55
B.
44
C.
33
D.
22

2012 · 江西 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
下列函数中，与函数 y=1x3y = \frac{1}{\sqrt[3]{x}} 定义域相同的函数为（ ）
A.
y=1sin⁡xy = \frac{1}{\sin x}
B.
y=ln⁡xxy = \frac{\ln x}{x}
C.
y=xexy = x\mathrm{e}^{x}
D.
y=sin⁡xxy = \frac{\sin x}{x}

2012 · 江西 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03函数与初等函数★☆☆☆☆
若函数
f(x)={x2+1,x⩽1,lg⁡x,x>1,f(x) = \begin{cases} x^2 + 1, & x \leqslant 1,\\ \lg x, & x > 1, \end{cases}
则 f(f(10))=f(f(10)) =（ ）
A.
lg⁡101\lg 101
B.
22
C.
11
D.
00

2012 · 江西 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04三角函数★★☆☆☆
若 tan⁡θ+1tan⁡θ=4\tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = 4，则 sin⁡2θ=\sin 2\theta =（ ）
A.
18\frac{1}{8}
B.
14\frac{1}{4}
C.
13\frac{1}{3}
D.
12\frac{1}{2}

2012 · 江西 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05集合与逻辑基础★★☆☆☆
下列命题中，假命题为（ ）
A.
存在四边相等的四边形不是正方形
B.
z1z_{1}、z2∈Cz_{2}\in\mathbf{C}，z1+z2z_{1}+z_{2} 为实数的充分必要条件是 z1z_{1}、z2z_{2} 互为共轭复数
C.
若 xx、y∈Ry\in\mathbf{R}，且 x+y>2x+y>2，则 xx、yy 至少有一个大于 11
D.
对于任意 n∈N+n\in\mathbf{N}_{+}，Cn0+Cn1+⋯+Cnn\mathrm C_{n}^{0}+\mathrm C_{n}^{1}+\cdots+\mathrm C_{n}^{n} 都是偶数

2012 · 江西 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06数列★★★☆☆
观察下列各式： a+b=1a + b = 1，a2+b2=3a^2 + b^2 = 3，a3+b3=4a^3 + b^3 = 4，a4+b4=7a^4 + b^4 = 7，a5+b5=11a^5 + b^5 = 11，⋯\cdots，则 a10+b10=a^{10} + b^{10} = （ ）
A.
2828
B.
7676
C.
123123
D.
199199

2012 · 江西 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07平面向量★★☆☆☆
在直角三角形 ABCABC 中，点 DD 是斜边 ABAB 的中点，点 PP 为线段 CDCD 的中点，则 ∣PA∣2+∣PB∣2∣PC∣2=\frac{|PA|^2 + |PB|^2}{|PC|^2} =（ ）
A.
22
B.
44
C.
55
D.
1010

2012 · 江西 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08不等式★★★☆☆
某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩50\text{ 亩}，投入资金不超过 54 万元54\text{ 万元}，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表
为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入−总种植成本\text{总利润} = \text{总销售收入} - \text{总种植成本}）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A.
50,050,0
B.
30,2030,20
C.
20,3020,30
D.
0,500,50

2012 · 江西 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09概率与统计★★★☆☆
样本 (x1,x2,⋯ ,xn)(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) 的平均数为 x‾\overline{x}，样本 (y1,y2,⋯ ,ym)(y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}) 的平均数为 y‾\overline{y} （记 x‾≠y‾\overline{x} \neq \overline{y}）. 若样本 (x1,x2,⋯ ,xn,y1,y2,⋯ ,ym)(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}, y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{m}) 的平均数 z‾=αx‾+(1−α)y‾\overline{z} = \alpha \overline{x} + (1 - \alpha)\overline{y}，其中 0<α<120 < \alpha < \frac{1}{2}，则 nn，mm 的大小关系为（ ）
A.
n<mn < m
B.
n>mn > m
C.
n=mn = m
D.
不能确定

2012 · 江西 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10立体几何初步★★★★☆
如图，已知正四棱锥 S−ABCDS - ABCD 所有棱长都为 1，点 EE 是侧棱 SCSC 上一动点，过点 EE 垂直于 SCSC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分. 记 SE=xSE = x （0<x<10 < x < 1），截面下面部分的体积为 V(x)V(x)，则函数 y=V(x)y = V(x) 的图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

2012 · 江西 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11函数与初等函数★☆☆☆☆
计算定积分 ∫−11(x2+sin⁡x)dx=‾\int_{-1}^{1}\left(x^{2} + \sin x\right)\mathrm{d}x =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 江西 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12数列★★☆☆☆
设数列 {an}\{a_{n}\}，{bn}\{b_{n}\} 都是等差数列，若 a1+b1=7a_{1} + b_{1} = 7，a3+b3=21a_{3} + b_{3} = 21，则 a5+b5=‾a_{5} + b_{5} =\underline{\hspace{2em}}.

2012 · 江西 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13解析几何★★☆☆☆
椭圆 x2a2+y2b2=1\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1（a>b>0a > b > 0）的左、右顶点分别是 AA，BB，左、右焦点分别是 F1F_1，F2F_2. 若 ∣AF1∣|AF_1|，∣F1F2∣|F_1F_2|，∣F1B∣|F_1B| 成等比数列，则此椭圆的离心率为______.

2012 · 江西 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★★☆☆
如图为某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是______.

2012 · 江西 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★☆☆☆
曲线 CC 的直角坐标方程为 x2+y2−2x=0x^{2} + y^{2} - 2x = 0，以原点为极点，xx 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线 CC 的极坐标方程为______.

2012 · 江西 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16不等式★★☆☆☆
在实数范围内，不等式 ∣2x−1∣+∣2x+1∣⩽6|2x - 1| + |2x + 1| \leqslant 6 的解集为______.

2012 · 江西 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17数列★★★☆☆
已知数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和 Sn=−12n2+knS_{n} = -\frac{1}{2}n^{2} + kn （其中 k∈N+k \in \mathbf{N}_{+} ），且 SnS_{n} 的最大值为 8.
(1) 确定常数 kk，并求 ana_{n}； (2) 求数列 {9−2an2n}\left\{\frac{9-2a_{n}}{2^{n}}\right\} 的前 nn 项和 TnT_{n}.

2012 · 江西 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18三角函数★★★☆☆
在 △ABC\triangle ABC 中，角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc. 已知 A=π4A = \frac{\pi}{4}，bsin⁡(π4+C)−csin⁡(π4+B)=ab \sin \left(\frac{\pi}{4} + C\right) - c \sin \left(\frac{\pi}{4} + B\right) = a.
(1) 求证： B−C=π2B - C = \frac{\pi}{2}； (2) 若 a=2a = \sqrt{2}，求 △ABC\triangle ABC 的面积.

2012 · 江西 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19概率与统计★★★★☆
如图，从 A1(1,0,0)A_{1}(1,0,0)，A2(2,0,0)A_{2}(2,0,0)，B1(0,1,0)B_{1}(0,1,0)，B2(0,2,0)B_{2}(0,2,0)，C1(0,0,1)C_{1}(0,0,1)，C2(0,0,2)C_{2}(0,0,2) 这6个点中随机选取3个点，将这3个点及原点 OO 两两相连构成一个“立体”，记该“立体”的体积为随机变量 VV （如果选取的3个点与原点在同一个平面内，此时“立体”的体积 V=0V = 0）.
(1) 求 V=0V = 0 的概率； (2) 求 VV 的分布列及数学期望 E(V)E(V).

2012 · 江西 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20立体几何初步★★★★☆
在三棱柱 ABC−A1B1C1ABC - A_{1}B_{1}C_{1} 中，已知 AB=AC=AA1=5AB = AC = AA_{1} = \sqrt{5}，BC=4BC = 4，点 A1A_{1} 在底面 ABCABC 的射影是线段 BCBC 的中点 OO.
(1) 证明：在侧棱 AA1AA_{1} 上存在一点 EE，使得 OE⊥OE \perp 平面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C，并求出 AEAE 的长； (2) 求平面 A1B1CA_{1}B_{1}C 与平面 BB1C1CBB_{1}C_{1}C 夹角的余弦值.

2012 · 江西 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★★
已知三点 O(0,0)O(0,0)，A(−2,1)A(-2,1)，B(2,1)B(2,1)，曲线 CC 上任意一点 M(x,y)M(x,y) 满足 ∣MA→+MB→∣=OM→⋅(OA→+OB→)+2\left|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right| = \overrightarrow{OM} \cdot \left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right) + 2.
(1) 求曲线 CC 的方程； (2) 动点 Q(x0,y0)Q(x_0, y_0) （−2<x0<2-2 < x_0 < 2）在曲线 CC 上，曲线 CC 在点 QQ 处的切线为 ll. 问：是否存在定点 P(0,t)P(0, t) （t<0t < 0），使得 ll 与 PAPA，PBPB 都相交，交点分别为 DD，EE，且 △QAB\triangle QAB 与 △PDE\triangle PDE 的面积之比是常数？若存在，求 tt 的值；若不存在，请说明理由.

2012 · 江西 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22函数与初等函数★★★★★
若函数 h(x)h(x) 满足
① h(0)=1h(0)=1，h(1)=0h(1)=0； ② 对任意 a∈[0,1]a \in [0,1]，有 h(h(a))=ah(h(a)) = a； ③ 在 (0,1)(0,1) 上单调递减.
则称 h(x)h(x) 为补函数. 已知函数 h(x)=(1−xp1+λxp)1ph(x) = \left(\frac{1 - x^{p}}{1 + \lambda x^{p}}\right)^{\frac{1}{p}}（λ>−1\lambda > -1，p>0p > 0）.
(1) 判断函数 h(x)h(x) 是否为补函数，并证明你的结论； (2) 若存在 m∈[0,1]m \in [0,1]，使得 h(m)=mh(m) = m，称 mm 是函数 h(x)h(x) 的中介元. 记 p=1np = \frac{1}{n} （n∈N+n \in \mathbf{N}_+）时 h(x)h(x) 的中介元为 xnx_n. 且 Sn=∑i=1nxiS_n = \sum_{i=1}^{n} x_i，若对任意的 n∈N+n \in \mathbf{N}_+，都有 Sn<12S_n < \frac{1}{2}，求 λ\lambda 的取值范围； (3) 当 λ=0\lambda = 0，x∈(0,1)x \in (0,1) 时，函数 y=h(x)y = h(x) 的图象总在直线 y=1−xy = 1 - x 的上方，求 pp 的取值范围.

2012 · 江西 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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