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01复数★☆☆☆☆
复数 3+2i2−3i=\frac{3 + 2\mathrm{i}}{2 - 3\mathrm{i}} =（ ）
A.
i\mathrm{i}
B.
−i-\mathrm{i}
C.
12−13i12 - 13\mathrm{i}
D.
12+13i12 + 13\mathrm{i}

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02三角函数★★☆☆☆
记 cos⁡(−80∘)=k\cos (-80^{\circ}) = k，那么 tan⁡100∘=\tan 100^{\circ} =（ ）
A.
1−k2k\frac{\sqrt{1 - k^2}}{k}
B.
−1−k2k-\frac{\sqrt{1 - k^2}}{k}
C.
k1−k2\frac{k}{\sqrt{1 - k^2}}
D.
−k1−k2-\frac{k}{\sqrt{1 - k^2}}

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03不等式★★☆☆☆
若变量 xx，yy 满足约束条件
{y⩽1,x+y⩾0,x−y−2⩽0,\begin{cases} y \leqslant 1,\\ x + y \geqslant 0,\\ x - y - 2 \leqslant 0, \end{cases}
则 z=x−2yz = x - 2y 的最大值为（ ）
A.
44
B.
33
C.
22
D.
11

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04数列★★☆☆☆
已知各项均为正数的等比数列 {an}\{a_{n}\}，a1a2a3=5a_{1}a_{2}a_{3} = 5，a7a8a9=10a_{7}a_{8}a_{9} = 10，则 a4a5a6=a_{4}a_{5}a_{6} =（ ）
A.
525\sqrt{2}
B.
77
C.
66
D.
424\sqrt{2}

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05计数原理与组合数学★★★☆☆
(1+2x)3(1−x3)5(1 + 2\sqrt{x})^3 (1 - \sqrt[3]{x})^5 的展开式中 xx 的系数是（ ）
A.
−4-4
B.
−2-2
C.
22
D.
44

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06计数原理与组合数学★★☆☆☆
某校开设 AA 类选修课3 门3\text{ 门}，BB 类选修课4 门4\text{ 门}. 一位同学从中共选3 门3\text{ 门}. 若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有（ ）
A.
30 种30\text{ 种}
B.
35 种35\text{ 种}
C.
42 种42\text{ 种}
D.
48 种48\text{ 种}

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07立体几何初步★★☆☆☆
正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中，BB1BB_{1} 与平面 ACD1ACD_{1} 所成角的余弦值为（ ）
A.
23\frac{\sqrt{2}}{3}
B.
33\frac{\sqrt{3}}{3}
C.
23\frac{2}{3}
D.
63\frac{\sqrt{6}}{3}

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08指数函数与对数函数★★☆☆☆
设 a=log⁡32a = \log_32，b=ln⁡2b = \ln 2，c=5−12c = 5^{-\frac{1}{2}}，则（ ）
A.
a<b<ca < b < c
B.
b<c<ab < c < a
C.
c<a<bc < a < b
D.
c<b<ac < b < a

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09解析几何★★★☆☆
已知 F1F_{1}，F2F_{2} 为双曲线 C:x2−y2=1C: x^{2} - y^{2} = 1 的左，右焦点，点 PP 在 CC 上，∠F1PF2=60∘\angle F_{1}PF_{2} = 60^{\circ}，则 PP 到 xx 轴的距离为（ ）
A.
32\frac{\sqrt{3}}{2}
B.
62\frac{\sqrt{6}}{2}
C.
3\sqrt{3}
D.
6\sqrt{6}

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10指数函数与对数函数★★★☆☆
已知函数 f(x)=∣lg⁡x∣f(x) = |\lg x|. 若 0<a<b0 < a < b，且 f(a)=f(b)f(a) = f(b)，则 a+2ba + 2b 的取值范围是（ ）
A.
(22,+∞)\left(2\sqrt{2},+\infty\right)
B.
[22,+∞)\left[2\sqrt{2},+\infty\right)
C.
(3,+∞)\left(3,+\infty\right)
D.
[3,+∞)\left[3,+\infty\right)

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11平面向量★★★★☆
已知圆 OO 的半径为 11，PAPA，PBPB 为该圆的两条切线，AA，BB 为两切点，那么 PA→⋅PB→\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB} 的最小值为（ ）
A.
−4+2-4 + \sqrt{2}
B.
−3+2-3 + \sqrt{2}
C.
−4+22-4 + 2\sqrt{2}
D.
−3+22-3 + 2\sqrt{2}

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12立体几何初步★★★★☆
已知在半径为 22 的球面上有 AA，BB，CC，DD 四点，若 AB=CD=2AB = CD = 2，则四面体 ABCDABCD 的体积的最大值为（ ）
A.
233\frac{2\sqrt{3}}{3}
B.
433\frac{4\sqrt{3}}{3}
C.
232\sqrt{3}
D.
833\frac{8\sqrt{3}}{3}

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13不等式★★☆☆☆
不等式 2x2+1−x⩽1\sqrt{2x^{2}+1}-x\leqslant1 的解集是______.

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14三角函数★★☆☆☆
已知 α\alpha 为第三象限的角，cos⁡2α=−35\cos 2\alpha = -\frac{3}{5}，则 tan⁡(π4+2α)=\tan \left(\frac{\pi}{4} + 2\alpha\right) =______.

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15函数与初等函数★★★☆☆
直线 y=1y = 1 与曲线 y=x2−∣x∣+ay = x^2 - |x| + a 有四个交点，则 aa 的取值范围是______.

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16解析几何★★★☆☆
已知 FF 是椭圆 CC 的一个焦点，BB 是短轴的一个端点，线段 BFBF 的延长线交 CC 于点 DD，且 BF→=2FD→\overrightarrow{BF} = 2\overrightarrow{FD}，则 CC 的离心率为______.

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17三角函数★★★☆☆
已知 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB 及其对边 aa，bb 满足 a+b=acot⁡A+bcot⁡Ba + b = a \cot A + b \cot B，求内角 CC.

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审. 若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用. 设稿件能通过各初审专家评审的概率均为 0.50.5，复审的稿件能通过评审的概率为 0.30.3. 各专家独立评审.
(1) 求投到该杂志的 1 篇1\text{ 篇}稿件被录用的概率； (2) 记 XX 表示投到该杂志的 4 篇4\text{ 篇}稿件中被录用的篇数，求 XX 的分布列及期望.

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，四棱锥 S−ABCDS - ABCD 中，SD⊥SD \perp 底面 ABCDABCD，AB∥DCAB \parallel DC，AD⊥DCAD \perp DC，AB=AD=1AB = AD = 1，DC=SD=2DC = SD = 2，EE 为棱 SBSB 上的一点，平面 EDC⊥EDC \perp 平面 SBCSBC.
(1) 证明：SE=2EBSE = 2EB； (2) 求二面角 A−DE−CA - DE - C 的大小.

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20导数及其应用★★★★☆
已知函数 f(x)=(x+1)ln⁡x−x+1f(x) = (x + 1)\ln x - x + 1.
(1) 若 xf′(x)⩽x2+ax+1x f'(x) \leqslant x^2 + ax + 1，求 aa 的取值范围； (2) 证明：(x−1)f(x)⩾0(x - 1)f(x) \geqslant 0.

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21解析几何★★★★★
已知抛物线 C:y2=4xC: y^{2} = 4x 的焦点为 FF，过点 K(−1,0)K(-1,0) 的直线 ll 与 CC 相交于 AA，BB 两点，点 AA 关于 xx 轴的对称点为 DD.
(1) 证明：点 FF 在直线 BDBD 上； (2) 设 FA→⋅FB→=89\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FB} = \frac{8}{9}，求 △BDK\triangle BDK 的内切圆 MM 的方程.

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
已知数列 {an}\{a_{n}\} 中，a1=1a_1 = 1，an+1=c−1ana_{n+1} = c - \frac{1}{a_n}.
(1) 设 c=52c = \frac{5}{2}，bn=1an−2b_n = \frac{1}{a_n - 2}，求数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式； (2) 求使不等式 an<an+1<3a_{n} < a_{n+1} < 3 成立的 cc 的取值范围.

2010 · 全国 · 大纲一卷 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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