已知 $\log_3 x=\frac{-1}{\log_2 3}$，那么 $x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots=$______.

若 $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left[1+(r+1)^n\right]=1$，则 $r$ 的取值范围是______.

已知二次函数 $y=f(x)$ 在 $x=\frac{t+2}{2}$ 处取得最小值 $-\frac{t^2}{4}$（$t>0$），$f(1)=0$.

(1) 求 $y=f(x)$ 的表达式； (2) 若任意实数 $x$ 都满足等式 $f(x)g(x)+a_nx+b_n=x^{n+1}$（$g(x)$ 为多项式，$n\in\mathbf{N}$），试用 $t$ 表示 $a_n$ 和 $b_n$； (3) 设圆 $C_n$ 的方程为 $(x-a_n)^2+(y-b_n)^2=r_n^2$，圆 $C_n$ 与 $C_{n+1}$ 外切（$n=1$，$2$，$3$，$\cdots$），$\{r_n\}$ 是各项都是正数的等比数列，记 $S_n$ 为前 $n$ 个圆的面积之和，求 $r_n$，$S_n$.