已知曲线 $C_n: y = nx^2$，点 $P_n(x_n, y_n)$（$x_n > 0$，$y_n > 0$）是曲线 $C_n$ 上的点（$n = 1$，$2$，$\cdots$）.

(1) 试写出曲线 $C_n$ 在点 $P_n$ 处的切线 $l_n$ 的方程，并求出 $l_n$ 与 $y$ 轴的交点 $Q_n$ 的坐标； (2) 若原点 $O(0, 0)$ 到 $l_n$ 的距离与线段 $P_nQ_n$ 的长度之比取得最大值，试求点 $P_n$ 的坐标 $(x_n, y_n)$； (3) 设 $m$ 与 $k$ 为两个给定的不同的正整数，$x_n$ 与 $y_n$ 是满足前一问条件的点 $P_n$ 的坐标，证明：$\sum_{n=1}^{s} \left| \sqrt{\frac{(m + 1)x_n}{2}} - \sqrt{(k + 1)y_n} \right| < \left| \sqrt{ms} - \sqrt{ks} \right|$（$s = 1$，$2$，$\cdots$）.