某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路. 记两条相互垂直的公路为 $l_1$，$l_2$，山区边界曲线为 $C$，计划修建的公路为 $l$. 如图所示，$M$，$N$ 为 $C$ 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $5\text{ 千米}$ 和 $40\text{ 千米}$，点 $N$ 到 $l_1$，$l_2$ 的距离分别为 $20\text{ 千米}$ 和 $2.5\text{ 千米}$. 以 $l_2$，$l_1$ 所在的直线分别为 $x$，$y$ 轴，建立平面直角坐标系 $xOy$. 假设曲线 $C$ 符合函数 $y = \dfrac{a}{x^2 + b}$（其中 $a$，$b$ 为常数）模型.

(1) 求 $a$，$b$ 的值； (2) 设公路 $l$ 与曲线 $C$ 相切于 $P$ 点，$P$ 的横坐标为 $t$.

(i) 请写出公路 $l$ 长度的函数解析式 $f(t)$，并写出其定义域； (ii) 当 $t$ 为何值时，公路 $l$ 的长度最短？求出最短长度.

已知函数 $f(x) = x^3 + ax^2 + b$（$a$，$b \in \mathbf{R}$）.

(1) 试讨论 $f(x)$ 的单调性； (2) 若 $b = c - a$（实数 $c$ 是与 $a$ 无关的常数）. 当函数 $f(x)$ 有三个不同的零点时，$a$ 的取值范围恰好是 $(-\infty, -3) \cup \left(1, \frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{3}{2}, +\infty\right)$，求 $c$ 的值.

设 $a_1$，$a_2$，$a_3$，$a_4$ 是各项为正数且公差为 $d$（$d \neq 0$）的等差数列.

(1) 证明：$2^{a_1}$，$2^{a_2}$，$2^{a_3}$，$2^{a_4}$ 依次构成等比数列； (2) 是否存在 $a_1$，$d$，使得 $a_1$，$a_2^{2}$，$a_3^{3}$，$a_4^{4}$ 依次构成等比数列？并说明理由； (3) 是否存在 $a_1$，$d$ 及正整数 $n$，$k$，使得 $a_1^{n}$，$a_2^{n+k}$，$a_3^{n+2k}$，$a_4^{n+3k}$ 依次构成等比数列？并说明理由.