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01指数函数与对数函数★☆☆☆☆
方程 4x−2x+1−8=04^x-2^{x+1}-8=0 的解是______.

1988 · 上海 · 第 1 题 · 填空题

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02函数与初等函数★☆☆☆☆
y=x−1y=\sqrt{x-1} 的反函数是______.

1988 · 上海 · 第 2 题 · 填空题

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03解析几何★★☆☆☆
在极坐标系中，以 (a2,π2)\left( \frac{a}{2},\frac{\pi}{2} \right) 为圆心，a2\frac{a}{2} 为半径的圆的方程为______.

1988 · 上海 · 第 3 题 · 填空题

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04解析几何★☆☆☆☆
参数方程
{x=1−2t,y=2t2−t\begin{cases} x=1-2t,\\ y=2t^2-t \end{cases}
（tt 为参数）化为普通方程是______.

1988 · 上海 · 第 4 题 · 填空题

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05立体几何初步★★☆☆☆
圆锥的侧面展开图是圆心角为 216∘216^\circ 的扇形，则此圆锥的轴截面的半顶角的正弦是______.

1988 · 上海 · 第 5 题 · 填空题

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06数列★★☆☆☆
lim⁡n→∞(−2)n+11−2+4−⋯+(−2)n−1=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{(-2)^{n+1}}{1-2+4-\cdots+(-2)^{n-1}}=______.

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07三角函数★★☆☆☆
函数 y=cos⁡(π2x)cos⁡[π2(x−1)]y=\cos\left( \frac{\pi}{2}x \right)\cos\left[ \frac{\pi}{2}(x-1) \right] 的最小正周期是______.

1988 · 上海 · 第 7 题 · 填空题

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08计数原理与组合数学★★☆☆☆
在 (1+x)n(1+x)^n 的展开式中，若第三项和第六项的系数相等，则 n=n=______.

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09解析几何★★☆☆☆
到椭圆 x225+y29=1\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 右焦点的距离与直线 x=6x=6 的距离相等的点的轨迹方程是______.

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10计数原理与组合数学★★☆☆☆
从 66 个运动员中选出 44 人参加 4×100 米4\times100\text{ 米}接力赛，如果甲，乙两人都不能跑第一棒，那末共有______ 种不同的参赛方案（要求结果用数字表达）.

1988 · 上海 · 第 10 题 · 填空题

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11解析几何★★☆☆☆
方程 x4−y4−4x2+4y2=0x^4-y^4-4x^2+4y^2=0 所表示的曲线是（ ）
A.
双曲线和一个圆
B.
两条相交直线
C.
两条平行直线和一个圆
D.
两条相交直线和一个圆

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12函数与初等函数★★☆☆☆
在 [−1,32]\left[ -1,\frac{3}{2} \right] 上与函数 y=xy=x 相同的函数是（ ）
A.
y=arccos⁡(cos⁡x)y=\arccos(\cos x)
B.
y=arcsin⁡(sin⁡x)y=\arcsin(\sin x)
C.
y=sin⁡(arcsin⁡x)y=\sin(\arcsin x)
D.
y=cos⁡(arccos⁡x)y=\cos(\arccos x)

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13函数与初等函数★★☆☆☆
函数 y=1+ax1−axy=\frac{1+a^x}{1-a^x}（a>0a>0，a≠1a\ne1）（ ）
A.
是奇函数
B.
是偶函数
C.
既是奇函数，又是偶函数
D.
是非奇非偶函数

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14集合与逻辑基础★★☆☆☆
∣x∣⩽2|x|\leqslant2 是 ∣x+1∣<1|x+1|<1 的（ ）
A.
必要不充分条件
B.
充分不必要条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件

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15立体几何初步★★☆☆☆
下列命题中错误的是（ ）
A.
若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这平面上所有直线
B.
若一个平面通过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直
C.
若一直线垂直于一个平面的一条垂线，则此直线平行于这个平面
D.
若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直

1988 · 上海 · 第 15 题 · 选择题

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16三角函数★★☆☆☆
若 sin⁡α=513\sin\alpha=\frac{5}{13}，α\alpha 为第二象限角，则 tan⁡α2\tan\frac{\alpha}{2} 的值为（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
55
C.
−5-5
D.
−15-\frac{1}{5}

1988 · 上海 · 第 16 题 · 选择题

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17立体几何初步★☆☆☆☆
在半径为 aa 的球中，高为 23a\frac{2}{3}a 的球冠面积与整个球面面积之和为（ ）
A.
83πa2\frac{8}{3}\pi a^2
B.
103πa2\frac{10}{3}\pi a^2
C.
143πa2\frac{14}{3}\pi a^2
D.
163πa2\frac{16}{3}\pi a^2

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18函数与初等函数★★★☆☆
下列函数图象中正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.

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19指数函数与对数函数★★☆☆☆
下列关系中正确的是（ ）
A.
(12)23<(15)23<(12)13\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3}}<\left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{2}{3}}<\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}
B.
(12)13<(12)23<(15)23\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}<\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3}}<\left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{2}{3}}
C.
(15)13<(12)13<(12)23\left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{1}{3}}<\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}<\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3}}
D.
(15)23<(12)23<(12)13\left( \frac{1}{5} \right)^{\frac{2}{3}}<\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{2}{3}}<\left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}

1988 · 上海 · 第 19 题 · 选择题

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20函数与初等函数★★★★☆
方程 sin⁡x=lg⁡x\sin x=\lg x 的实数根有（ ）
A.
11 个
B.
22 个
C.
33 个
D.
无穷多个

1988 · 上海 · 第 20 题 · 选择题

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21解析几何★★☆☆☆
已知直线 l1:3x−y+12=0l_1:3x-y+12=0，l2:3x+2y−6=0l_2:3x+2y-6=0. 求 l1l_1，l2l_2 和 yy 轴所围成的三角形面积.

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22集合与逻辑基础★★☆☆☆
设 A={x∣x⩾1x,x∈R}A=\left\{ x\mid x\geqslant\frac{1}{x},x\in\mathbf{R} \right\}，B={x∣2x+1<3,x∈R}B=\left\{ x\mid \sqrt{2x+1}<3,x\in\mathbf{R} \right\}. 求 D=A∩BD=A\cap B.

1988 · 上海 · 第 22 题 · 解答题

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23立体几何初步★★☆☆☆
一个圆锥容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图. 两容器内盛有的液体的体积正好相等，且液面高度 hh 正好相同. 求 hh.

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24三角函数★★★☆☆
设方程 x2+33x+4=0x^2+3\sqrt{3}x+4=0 的两个实根为 x1x_1，x2x_2. 记 α=arctan⁡x1\alpha=\arctan x_1，β=arctan⁡x2\beta=\arctan x_2. 求 α+β\alpha+\beta.

1988 · 上海 · 第 24 题 · 解答题

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25指数函数与对数函数★★★★☆
设 y=log⁡12[a2x+2(ab)x−b2x+1]y=\log_{\frac{1}{2}}\left[ a^{2x}+2(ab)^x-b^{2x}+1 \right]（a>0a>0，b>0b>0）. 求使 yy 为负值的 xx 的取值范围.

1988 · 上海 · 第 25 题 · 解答题

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