已知 $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$，则双曲线 $C_1: \frac{x^{2}}{\cos^{2}\theta} - \frac{y^{2}}{\sin^{2}\theta} = 1$ 与 $C_2: \frac{y^{2}}{\sin^{2}\theta} - \frac{x^{2}}{\sin^{2}\theta \tan^{2}\theta} = 1$ 的（ ）

如图，圆 $O$ 上一点 $C$ 在直径 $AB$ 上的射影为 $D$，点 $D$ 在半径 $OC$ 上的射影为 $E$，若 $AB = 3AD$，则 $\dfrac{CE}{EO}$ 的值为______.

在直角坐标系 $xOy$ 中，椭圆 $C$ 的参数方程为 （$\varphi$ 为参数，$a > b > 0$），在极坐标系（与直角坐标系 $xOy$ 取相同的长度单位，且以原点 $O$ 为极点，以 $x$ 轴正半轴为极轴）中，直线 $l$ 与圆 $O$ 的极坐标方程分别为 $\rho\sin\left(\theta + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}m$（$m$ 为非零常数）与 $\rho = b$，若直线 $l$ 经过椭圆 $C$ 的焦点，且与圆 $O$ 相切，则椭圆 $C$ 的离心率为______.

如图，已知椭圆 $C_1$ 与 $C_2$ 的中心在坐标原点 $O$，长轴均为 $MN$ 且在 $x$ 轴上，短轴长分别为 $2m$，$2n$（$m > n$），过原点且不与 $x$ 轴重合的直线 $l$ 与 $C_1$，$C_2$ 的四个交点按纵坐标从大到小依次为 $A$，$B$，$C$，$D$，记 $\lambda = \frac{m}{n}$，$\triangle BDM$ 和 $\triangle ABN$ 的面积分别为 $S_1$ 和 $S_2$.

(1) 当直线 $l$ 与 $y$ 轴重合时，若 $S_{1} = \lambda S_{2}$，求 $\lambda$ 的值； (2) 当 $\lambda$ 变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线 $l$ 使得 $S_{1} = \lambda S_{2}$ 并说明理由.