阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果 $i=\underline{\hspace{2em}}$.

古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数 $1$，$3$，$6$，$10$，$\cdots$，第 $n$ 个三角形数为 $\frac{n(n + 1)}{2} = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$. 记第 $n$ 个 $k$ 边形数为 $N(n, k)$（$k \geqslant 3$），以下列出了部分 $k$ 边形数中第 $n$ 个数的表达式：

三角形数 $N(n, 3) = \frac{1}{2}n^2 + \frac{1}{2}n$， 正方形数 $N(n, 4) = n^2$， 五边形数 $N(n, 5) = \frac{3}{2}n^2 - \frac{1}{2}n$， 六边形数 $N(n, 6) = 2n^2 - n$， ……

可以推测 $N(n, k)$ 的表达式，由此计算 $N(10, 24) =\underline{\hspace{2em}}$.

已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足：$\left|a_2 - a_3\right| = 10$，$a_1a_2a_3 = 125$.

(1) 求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式； (2) 是否存在正整数 $m$，使得 $\frac{1}{a_1} + \frac{1}{a_2} + \cdots + \frac{1}{a_m} \geqslant 1$. 若存在，求 $m$ 的最小值；若不存在，说明理由.