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01复数★☆☆☆☆
复数 1+2i3=1 + \frac{2}{\mathrm{i}^3} =（ ）
A.
1+2i1 + 2\mathrm{i}
B.
1−2i1 - 2\mathrm{i}
C.
−1-1
D.
33

2008 · 重庆 · 理 · 第 1 题 · 选择题

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02集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设 mm，nn 是整数，则“mm，nn 均为偶数”是“m+nm + n 是偶数”的（ ）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2008 · 重庆 · 理 · 第 2 题 · 选择题

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03解析几何★★☆☆☆
圆 O1:x2+y2−2x=0O_{1}: x^{2} + y^{2} - 2x = 0 和圆 O2:x2+y2−4y=0O_{2}: x^{2} + y^{2} - 4y = 0 的位置关系是（ ）
A.
相离
B.
相交
C.
外切
D.
内切

2008 · 重庆 · 理 · 第 3 题 · 选择题

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04函数与初等函数★★★☆☆
已知函数 y=1−x+x+3y = \sqrt{1 - x} + \sqrt{x + 3} 的最大值为 MM，最小值为 mm，则 mM\frac{m}{M} 的值为（ ）
A.
14\frac{1}{4}
B.
12\frac{1}{2}
C.
22\frac{\sqrt{2}}{2}
D.
32\frac{\sqrt{3}}{2}

2008 · 重庆 · 理 · 第 4 题 · 选择题

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05概率与统计★☆☆☆☆
已知随机变量 ξ\xi 服从正态分布 N(3,σ2)N(3, \sigma^2)，则 P(ξ<3)=P(\xi < 3) =（ ）
A.
15\frac{1}{5}
B.
14\frac{1}{4}
C.
13\frac{1}{3}
D.
12\frac{1}{2}

2008 · 重庆 · 理 · 第 5 题 · 选择题

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06函数与初等函数★★☆☆☆
若定义在 R\mathbf{R} 上的函数 f(x)f(x) 满足：对任意 x1x_{1}，x2∈Rx_{2} \in \mathbf{R} 有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1f(x_{1} + x_{2}) = f(x_{1}) + f(x_{2}) + 1，则下列说法一定正确的是（ ）
A.
f(x)f(x) 为奇函数
B.
f(x)f(x) 为偶函数
C.
f(x)+1f(x) + 1 为奇函数
D.
f(x)+1f(x) + 1 为偶函数

2008 · 重庆 · 理 · 第 6 题 · 选择题

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07解析几何★★☆☆☆
若过两点 P1(−1,2)P_{1}(-1,2)，P2(5,6)P_{2}(5,6) 的直线与 xx 轴相交于点 PP，则点 PP 分有向线段 P1P2→\overrightarrow{P_1P_2} 所成的比 λ\lambda 的值为（ ）
A.
−13-\frac{1}{3}
B.
−15-\frac{1}{5}
C.
15\frac{1}{5}
D.
13\frac{1}{3}

2008 · 重庆 · 理 · 第 7 题 · 选择题

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08解析几何★★☆☆☆
已知双曲线 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1（a>0a > 0，b>0b > 0）的一条渐近线为 y=kxy = kx（k>0k > 0），离心率 e=5ke = \sqrt{5} k，则双曲线方程为（ ）
A.
x2a2−y24a2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{4a^2} = 1
B.
x2a2−y25a2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{5a^2} = 1
C.
x24b2−y2b2=1\frac{x^2}{4b^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
D.
x25b2−y2b2=1\frac{x^2}{5b^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

2008 · 重庆 · 理 · 第 8 题 · 选择题

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09立体几何初步★★★★☆
如图，体积为 VV 的大球内有 44 个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，44 个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的 44 个顶点. V1V_{1} 为小球相交部分 （图中阴影部分） 的体积，V2V_{2} 为大球内，小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是（ ）
A.
V1>V2V_{1} > \frac{V}{2}
B.
V2<V2V_{2} < \frac{V}{2}
C.
V1>V2V_{1} > V_{2}
D.
V1<V2V_{1} < V_{2}

2008 · 重庆 · 理 · 第 9 题 · 选择题

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10函数与初等函数★★★★☆
函数 f(x)=sin⁡x−13−2cos⁡x−2sin⁡xf(x) = \frac{\sin x - 1}{\sqrt{3 - 2\cos x - 2\sin x}} 的值域是（ ）
A.
[−22,0]\left[-\frac{\sqrt{2}}{2},0\right]
B.
[−1,0][-1,0]
C.
[−2,0][- \sqrt{2}, 0]
D.
[−3,0][- \sqrt{3}, 0]

2008 · 重庆 · 理 · 第 10 题 · 选择题

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11集合与逻辑基础★☆☆☆☆
设集合 U={1,2,3,4,5}U = \{1, 2, 3, 4, 5\}，A={2,4}A = \{2, 4\}，B={3,4,5}B = \{3, 4, 5\}，C={3,4}C = \{3, 4\}，则 (A∪B)∩(∁UC)=‾(A \cup B) \cap (\complement_U C) =\underline{\hspace{2em}}.

2008 · 重庆 · 理 · 第 11 题 · 填空题

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12函数与初等函数★★☆☆☆
已知函数
f(x) = \begin{cases} 2x + 3 &
（当 x≠0 时\text{当 } x \neq 0 \text{ 时}）\\ a &（当 x=0 时\text{当 } x = 0 \text{ 时}）\end{cases} 在点 x=0x = 0 处连续，则 lim⁡n→∞an2+1a2n2+n=\displaystyle\lim_{n \to \infty} \frac{a n^{2} + 1}{a^{2} n^{2} + n} =______.

2008 · 重庆 · 理 · 第 12 题 · 填空题

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13指数函数与对数函数★☆☆☆☆
已知 a23=49a^{\frac{2}{3}} = \frac{4}{9}（a>0a > 0），则 log⁡23a=\log_{\frac{2}{3}} a =______.

2008 · 重庆 · 理 · 第 13 题 · 填空题

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14数列★★☆☆☆
设 SnS_{n} 是等差数列 {an}\{a_{n}\} 的前 nn 项和，a12=−8a_{12} = -8，S9=−9S_{9} = -9. 则 S16=‾S_{16} =\underline{\hspace{2em}}.

2008 · 重庆 · 理 · 第 14 题 · 填空题

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15解析几何★★★☆☆
直线 ll 与圆 x2+y2+2x−4y+a=0x^{2} + y^{2} + 2x - 4y + a = 0（a<3a < 3）相交于两点 AA，BB，弦 ABAB 的中点为 (0,1)(0, 1)，则直线 ll 的方程为______.

2008 · 重庆 · 理 · 第 15 题 · 填空题

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16计数原理与组合数学★★★★★
某人有 44 种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多），要在如图所示的 66 个点 AA，BB，CC， A1A_{1}， B1B_{1}， C1C_{1} 上各装一个灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色. 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方法共有______ 种.

2008 · 重庆 · 理 · 第 16 题 · 填空题

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17三角函数★★★☆☆
设 △ABC\triangle ABC 的内角 AA，BB，CC 的对边分别为 aa，bb，cc，且 A=60∘A = 60^{\circ}，c=3bc = 3b. 求：
(1) ac\frac{a}{c} 的值； (2) cot⁡B+cot⁡C\cot B + \cot C 的值.

2008 · 重庆 · 理 · 第 17 题 · 解答题

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18概率与统计★★★☆☆
甲，乙，丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲，乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空. 比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满 66 局时停止. 设在每局中参赛者胜负的概率均为 12\frac{1}{2}，且各局胜负相互独立. 求：
(1) 打满 33 局比赛还未停止的概率； (2) 比赛停止时已打局数 ξ\xi 的分布列与期望 E(ξ)E(\xi).

2008 · 重庆 · 理 · 第 18 题 · 解答题

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19立体几何初步★★★★☆
如图，在 △ABC\triangle ABC 中，B=90∘B = 90^{\circ}，AC=152AC = \frac{15}{2}，DD，EE 两点分别在 ABAB，ACAC 上，使 ADDB=AEEC=2\frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC} = 2，DE=3DE = 3. 现将 △ABC\triangle ABC 沿 DEDE 折成直二面角，求：
(1) 异面直线 ADAD 与 BCBC 的距离； (2) 二面角 A−EC−BA - EC - B 的大小（用反三角函数表示）.

2008 · 重庆 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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20导数及其应用★★★☆☆
设函数 f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c（a≠0a \neq 0），曲线 y=f(x)y = f(x) 通过点 (0,2a+3)(0, 2a + 3)，且在点 (−1,f(−1))(-1, f(-1)) 处的切线垂直于 yy 轴.
(1) 用 aa 分别表示 bb 和 cc； (2) 当 bcbc 取得最小值时，求函数 g(x)=−f(x)e−xg(x) = -f(x)\mathrm{e}^{-x} 的单调区间.

2008 · 重庆 · 理 · 第 20 题 · 解答题

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21解析几何★★★★☆
如图，M(−2,0)M(-2,0) 和 N(2,0)N(2,0) 是平面上的两点，动点 PP 满足： ∣PM∣+∣PN∣=6|PM| + |PN| = 6.
(1) 求点 PP 的轨迹方程； (2) 若 ∣PM∣⋅∣PN∣=21−cos⁡MPN|PM| \cdot |PN| = \frac{2}{1 - \cos MPN}，求点 PP 的坐标.

2008 · 重庆 · 理 · 第 21 题 · 解答题

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22数列★★★★★
设各项均为正数的数列 {an}\{a_{n}\} 满足 a1=2a_1 = 2，an=an+132an+2a_n = a_{n+1}^{\frac{3}{2}} a_{n+2}（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*）.
(1) 若 a2=14a_2 = \frac{1}{4}，求 a3a_3，a4a_4 并猜想 a2008a_{2008} 的值 （不需证明）； (2) 记 bn=a1a2⋯anb_n = a_1a_2 \cdots a_n（n∈N∗n \in \mathbf{N}^*），若 bn⩾22b_n \geqslant 2\sqrt{2} 对 n⩾2n \geqslant 2 恒成立，求 a2a_2 的值及数列 {bn}\{b_n\} 的通项公式.

2008 · 重庆 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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