设函数 $f(x) = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$），曲线 $y = f(x)$ 通过点 $(0, 2a + 3)$，且在点 $(-1, f(-1))$ 处的切线垂直于 $y$ 轴.

(1) 用 $a$ 分别表示 $b$ 和 $c$； (2) 当 $bc$ 取得最小值时，求函数 $g(x) = -f(x)\mathrm{e}^{-x}$ 的单调区间.