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04三角函数★☆☆☆☆
行列式
∣cos⁡π3sin⁡π6sin⁡π3cos⁡π6∣\begin{vmatrix} \cos \frac{\pi}{3} & \sin \frac{\pi}{6} \\ \sin \frac{\pi}{3} & \cos \frac{\pi}{6} \end{vmatrix}
的值是______.

2010 · 上海 · 理 · 第 4 题 · 填空题

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15集合与逻辑基础★★☆☆☆
x=2kπ+π4x = 2k\pi + \frac{\pi}{4} （k∈Zk \in \mathbf{Z}） 是“tan⁡x=1\tan x = 1”成立的（ ）
\begin{answer} A \end{answer}
\begin{solution} 设条件 pp：x=2kπ+π4x=2k\pi+\frac{\pi}{4}，k∈Zk\in\mathbf{Z}，条件 qq：tan⁡x=1\tan x=1. 若 pp 成立，则 tan⁡x=tan⁡(2kπ+π4)=1\tan x=\tan\left(2k\pi+\frac{\pi}{4}\right)=1，所以 pp 是 qq 的充分条件.
但 qq 的一般解为 x=kπ+π4x=k\pi+\frac{\pi}{4}，例如 x=5π4x=\frac{5\pi}{4} 满足 qq，却不能写成 2kπ+π42k\pi+\frac{\pi}{4}. 所以 pp 不是 qq 的必要条件，故选 A，即充分不必要条件. \end{solution}
A.
充分不必要条件
B.
必要不充分条件
C.
充要条件
D.
既不充分也不必要条件

2010 · 上海 · 理 · 第 15 题 · 选择题

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18三角函数★★★☆☆
某人要作一个三角形，要求它的三条高的长度分别是 113\frac{1}{13}，111\frac{1}{11}，15\frac{1}{5}，则此人将（ ）
\begin{answer} D \end{answer}
\begin{solution} 设三角形面积为 Δ\Delta，三条高分别为 hah_a，hbh_b，hch_c，对应边分别为 aa，bb，cc. 由 Δ=12aha=12bhb=12chc\Delta=\frac12ah_a=\frac12bh_b=\frac12ch_c，得边长之比为
a:b:c=1ha:1hb:1hc=13:11:5a:b:c=\frac1{h_a}:\frac1{h_b}:\frac1{h_c}=13:11:5
因为 11+5>1311+5>13，这三个数能作成三角形. 其中最长边为 1313，且
132=169>112+52=14613^2=169>11^2+5^2=146
由余弦定理的逆定理，最长边所对的角为钝角，所以应作出一个钝角三角形，选 D. \end{solution}
A.
不能作出满足要求的三角形
B.
作出一个锐角三角形
C.
作出一个直角三角形
D.
作出一个钝角三角形

2010 · 上海 · 理 · 第 18 题 · 选择题

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19三角函数★★☆☆☆
已知 0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2}，化简： lg⁡(cos⁡x⋅tan⁡x+1−2sin⁡2x2)+lg⁡[2cos⁡(x−π4)]−lg⁡(1+sin⁡2x)\lg \left(\cos x \cdot \tan x + 1 - 2 \sin^2 \frac{x}{2}\right) + \lg \left[ \sqrt{2} \cos \left( x - \frac{\pi}{4} \right) \right] - \lg (1 + \sin 2x).

2010 · 上海 · 理 · 第 19 题 · 解答题

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22不等式★★★★★
若实数 xx，yy，mm 满足 ∣x−m∣>∣y−m∣|x - m| > |y - m|，则称 xx 比 yy 远离 mm.
(1) 若 x2−1x^{2} - 1 比 1 远离 0，求 xx 的取值范围； (2) 对任意两个不相等的正数 aa，bb，证明： a3+b3a^3 + b^3 比 a2b+ab2a^2b + ab^2 远离 2abab2ab\sqrt{ab}； (3) 已知函数 f(x)f(x) 的定义域 D={x∣x≠kπ2+π4,k∈Z,x∈R}D = \left\{ x \mid x \neq \frac{k\pi}{2} + \frac{\pi}{4}, k \in \mathbf{Z}, x \in \mathbf{R} \right\}. 任取 x∈Dx \in D，f(x)f(x) 等于 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 中远离 00 的那个值. 写出函数 f(x)f(x) 的解析式，并指出它的基本性质 （结论不要求证明）.

2010 · 上海 · 理 · 第 22 题 · 解答题

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